Номер 14, страница 147, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

14. $3 \sin^2 2x + 7 \cos 2x - \tan^2 {\pi \over 3} = 0.$

Данное уравнение является тригонометрическим. Для его решения преобразуем его к более простому виду.
Исходное уравнение: $3 \sin^2 2x + 7 \cos 2x - \tg^2 \frac{\pi}{3} = 0$.

Шаг 1: Вычисление постоянного члена
Найдем значение выражения $\tg^2 \frac{\pi}{3}$.
Значение тангенса для угла $\frac{\pi}{3}$ (60°) равно $\sqrt{3}$.
Следовательно, $\tg^2 \frac{\pi}{3} = (\tg \frac{\pi}{3})^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$.

Шаг 2: Подстановка и упрощение уравнения
Подставим вычисленное значение в исходное уравнение:
$3 \sin^2 2x + 7 \cos 2x - 3 = 0$.

Шаг 3: Приведение к одной тригонометрической функции
Чтобы решить уравнение, нужно выразить все тригонометрические функции через одну. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого следует, что $\sin^2 2x = 1 - \cos^2 2x$.
Заменим $\sin^2 2x$ в уравнении:
$3(1 - \cos^2 2x) + 7 \cos 2x - 3 = 0$.

Шаг 4: Решение алгебраического уравнения
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$3 - 3 \cos^2 2x + 7 \cos 2x - 3 = 0$
$-3 \cos^2 2x + 7 \cos 2x = 0$.
Для удобства умножим обе части на -1:
$3 \cos^2 2x - 7 \cos 2x = 0$.
Это неполное квадратное уравнение относительно $\cos 2x$. Вынесем общий множитель $\cos 2x$ за скобки:
$\cos 2x (3 \cos 2x - 7) = 0$.

Шаг 5: Нахождение корней
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два случая:
1) $\cos 2x = 0$
Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2:
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $3 \cos 2x - 7 = 0$
$3 \cos 2x = 7$
$\cos 2x = \frac{7}{3}$.
Поскольку область значений функции косинуса $[-1; 1]$, а $\frac{7}{3} > 1$, это уравнение не имеет действительных решений.

Таким образом, решения исходного уравнения задаются только первой серией корней.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.