Номер 6, страница 141, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

6. Решите уравнение $3\text{ctg}\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)+\sqrt{3}=0$ и найдите его корни, удовлетворяющие условию $-\frac{\pi}{2}

Решите уравнение $3\ctg(2x - \frac{\pi}{6}) + \sqrt{3} = 0$

Преобразуем исходное уравнение. Перенесем слагаемое $\sqrt{3}$ в правую часть уравнения и разделим обе части на 3:
$3\ctg(2x - \frac{\pi}{6}) = -\sqrt{3}$
$\ctg(2x - \frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\ctg(y) = a$. Его решение находится по формуле $y = \text{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $y = 2x - \frac{\pi}{6}$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Поскольку $\text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2\pi}{3}$, получаем:
$2x - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} + \pi n$

Теперь выразим переменную $x$:
$2x = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + \pi n$
Приводим дроби к общему знаменателю 6:
$2x = \frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \pi n$
$2x = \frac{5\pi}{6} + \pi n$
Разделим обе части уравнения на 2:
$x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Найдите его корни, удовлетворяющие условию $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2}$

Для отбора корней решим двойное неравенство, подставив в него найденную серию решений:
$-\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi n}{2} < \frac{3\pi}{2}$

Разделим все части неравенства на положительное число $\pi$:
$-\frac{1}{2} < \frac{5}{12} + \frac{n}{2} < \frac{3}{2}$

Умножим все части неравенства на 12, чтобы избавиться от дробей:
$12 \cdot (-\frac{1}{2}) < 12 \cdot (\frac{5}{12} + \frac{n}{2}) < 12 \cdot \frac{3}{2}$
$-6 < 5 + 6n < 18$

Вычтем 5 из всех частей неравенства:
$-6 - 5 < 6n < 18 - 5$
$-11 < 6n < 13$

Разделим все части на 6:
$-\frac{11}{6} < n < \frac{13}{6}$
$-1\frac{5}{6} < n < 2\frac{1}{6}$

Целочисленные значения $n$, которые принадлежат данному интервалу: $n = -1, 0, 1, 2$.

Теперь найдем соответствующие им корни $x$, подставляя эти значения $n$ в общую формулу корня:
При $n = -1$: $x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi \cdot (-1)}{2} = \frac{5\pi}{12} - \frac{6\pi}{12} = -\frac{\pi}{12}$.
При $n = 0$: $x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi \cdot 0}{2} = \frac{5\pi}{12}$.
При $n = 1$: $x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi \cdot 1}{2} = \frac{5\pi}{12} + \frac{6\pi}{12} = \frac{11\pi}{12}$.
При $n = 2$: $x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi \cdot 2}{2} = \frac{5\pi}{12} + \pi = \frac{5\pi + 12\pi}{12} = \frac{17\pi}{12}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{11\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}$.