Номер 3, страница 141, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

3. Решите уравнения:

а) $ctg2x-1=0$;

б) $tg(2x+\frac{\pi}{4})=-1$;

в) $3ctg(\frac{\pi}{3}-\pi x)+\sqrt{3}=0$;

г) $tg(\frac{x}{2}-3)=5$.

а) Исходное уравнение: $ctg(2x) - 1 = 0$.
Перенесем 1 в правую часть, чтобы выделить тригонометрическую функцию: $ctg(2x) = 1$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $ctg(y) = a$ записывается формулой $y = arcctg(a) + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in Z$).
В нашем случае, аргумент $y = 2x$, а значение $a = 1$.
Найдем арккотангенс от 1: $arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$.
Подставим известные значения в общую формулу решения: $2x = \frac{\pi}{4} + \pi k$.
Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2: $x = \frac{\pi}{4 \cdot 2} + \frac{\pi k}{2} = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.

б) Исходное уравнение: $tg(2x + \frac{\pi}{4}) = -1$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $tg(y) = a$ записывается формулой $y = arctg(a) + \pi k$, где $k \in Z$.
В нашем случае, аргумент $y = 2x + \frac{\pi}{4}$, а значение $a = -1$.
Найдем арктангенс от -1: $arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
Подставим значения в формулу: $2x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + \pi k$.
Теперь выразим $x$. Сначала перенесем $\frac{\pi}{4}$ в правую часть уравнения: $2x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi k$
$2x = -\frac{2\pi}{4} + \pi k$
$2x = -\frac{\pi}{2} + \pi k$.
Разделим обе части уравнения на 2: $x = -\frac{\pi}{2 \cdot 2} + \frac{\pi k}{2} = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.

в) Исходное уравнение: $3ctg(\frac{\pi}{3} - \pi x) + \sqrt{3} = 0$.
Сначала выразим тригонометрическую функцию. Перенесем $\sqrt{3}$ в правую часть и разделим на 3: $3ctg(\frac{\pi}{3} - \pi x) = -\sqrt{3}$
$ctg(\frac{\pi}{3} - \pi x) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Общее решение для $ctg(y) = a$ имеет вид $y = arcctg(a) + \pi k$, где $k \in Z$.
В данном случае $y = \frac{\pi}{3} - \pi x$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Найдем арккотангенс: $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Подставим в формулу: $\frac{\pi}{3} - \pi x = \frac{2\pi}{3} + \pi k$.
Теперь выразим $x$. Изолируем член с $x$: $-\pi x = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + \pi k$
$-\pi x = \frac{\pi}{3} + \pi k$.
Разделим обе части на $-\pi$: $x = -(\frac{\pi}{3\pi} + \frac{\pi k}{\pi}) = -(\frac{1}{3} + k) = -\frac{1}{3} - k$.
Поскольку $k$ — любое целое число, то $-k$ также пробегает все целые числа. Поэтому можно заменить $-k$ на $+k$ для более простого вида записи.
Ответ: $x = -\frac{1}{3} + k, k \in Z$.

г) Исходное уравнение: $tg(\frac{x}{2} - 3) = 5$.
Общее решение для $tg(y) = a$ имеет вид $y = arctg(a) + \pi k$, где $k \in Z$.
Здесь $y = \frac{x}{2} - 3$ и $a = 5$. Так как 5 не является стандартным табличным значением для тангенса, решение будет выражено через арктангенс.
Подставляем в формулу: $\frac{x}{2} - 3 = arctg(5) + \pi k$.
Выразим $x$. Сначала перенесем -3 в правую часть: $\frac{x}{2} = 3 + arctg(5) + \pi k$.
Умножим обе части на 2: $x = 2(3 + arctg(5) + \pi k) = 6 + 2arctg(5) + 2\pi k$.
Ответ: $x = 6 + 2arctg(5) + 2\pi k, k \in Z$.