Номер 14, страница 137, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

14. (2) Решите уравнения, используя замену переменной $ \cos x = p $:

а) $ 2 \cos^2 x - 5 \cos x + 2 = 0 $;

б) $ 3 \cos^2 x + 11 \cos x - 4 = 0 $;

в) $ 2 \cos^2 x - \sqrt{3} \cos x = 0 $.

а) Дано уравнение $2\cos^2 x - 5\cos x + 2 = 0$.
Следуя условию, введем замену переменной. Пусть $p = \cos x$. Поскольку область значений функции косинус – это отрезок $[-1, 1]$, то для переменной $p$ должно выполняться условие $-1 \le p \le 1$.
После замены исходное уравнение превращается в квадратное уравнение относительно $p$:
$2p^2 - 5p + 2 = 0$.
Решим это уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Корни уравнения равны:
$p_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
$p_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $-1 \le p \le 1$.
Корень $p_1 = 2$ не подходит, так как $2 > 1$.
Корень $p_2 = \frac{1}{2}$ подходит, так как $-1 \le \frac{1}{2} \le 1$.
Выполним обратную замену для подходящего корня:
$\cos x = \frac{1}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решение находится по формуле $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Дано уравнение $3\cos^2 x + 11\cos x - 4 = 0$.
Введем замену $p = \cos x$, при этом $-1 \le p \le 1$.
Получим квадратное уравнение:
$3p^2 + 11p - 4 = 0$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169$.
Найдем корни уравнения:
$p_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{-11 + 13}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
$p_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{-11 - 13}{6} = \frac{-24}{6} = -4$.
Проверим корни на соответствие условию $-1 \le p \le 1$.
Корень $p_1 = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию.
Корень $p_2 = -4$ не удовлетворяет условию, так как $-4 < -1$.
Выполним обратную замену:
$\cos x = \frac{1}{3}$.
Решение данного уравнения:
$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Дано уравнение $2\cos^2 x - \sqrt{3}\cos x = 0$.
Введем замену $p = \cos x$, где $-1 \le p \le 1$.
Получим неполное квадратное уравнение:
$2p^2 - \sqrt{3}p = 0$.
Вынесем общий множитель $p$ за скобки:
$p(2p - \sqrt{3}) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$p_1 = 0$ или $2p_2 - \sqrt{3} = 0$, откуда $p_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Оба корня удовлетворяют условию $-1 \le p \le 1$, так как $-1 \le 0 \le 1$ и $-1 \le \frac{\sqrt{3}}{2} \le 1$.
Рассмотрим два случая, выполнив обратную замену.
1) $\cos x = 0$.
Это частный случай, решения имеют вид $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Решения имеют вид $x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Объединив решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.