Номер 11, страница 136, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

11. (1) a) $2\cos x + \sqrt{2} = 0$;

б) $\sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) - 1 = 0$;

В) $2\cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$;

Г) $2\cos\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{2}$.

a) Исходное уравнение: $2\cos x + \sqrt{2} = 0$.

Для решения этого уравнения сначала выразим $\cos x$. Перенесем $\sqrt{2}$ в правую часть уравнения:

$2\cos x = -\sqrt{2}$

Теперь разделим обе части уравнения на 2:

$\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения $\cos x = a$ имеет вид $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Для нашего случая $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Значение арккосинуса: $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$.

Подставляем это значение в общую формулу решения:

$x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $\sqrt{2}\cos(x - \frac{\pi}{3}) - 1 = 0$.

Сначала изолируем косинус. Перенесем -1 в правую часть:

$\sqrt{2}\cos(x - \frac{\pi}{3}) = 1$

Разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$\cos(x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Пусть аргумент косинуса $t = x - \frac{\pi}{3}$. Тогда уравнение принимает вид $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение для $t$: $t = \pm \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, получаем: $t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$.

Теперь вернемся к переменной $x$, подставив $t = x - \frac{\pi}{3}$:

$x - \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

Выразим $x$, перенеся $\frac{\pi}{3}$ в правую часть:

$x = \frac{\pi}{3} \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

Разобьем решение на две серии:

1) $x_1 = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{4\pi + 3\pi}{12} + 2\pi k = \frac{7\pi}{12} + 2\pi k$.

2) $x_2 = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{4\pi - 3\pi}{12} + 2\pi k = \frac{\pi}{12} + 2\pi k$.

Ответ: $x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi k, x = \frac{\pi}{12} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение: $2\cos(2x - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$.

Разделим обе части уравнения на 2:

$\cos(2x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Аргумент косинуса $2x - \frac{\pi}{4}$ должен быть равен:

$2x - \frac{\pi}{4} = \pm \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Так как $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, имеем:

$2x - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

Перенесем $\frac{\pi}{4}$ в правую часть:

$2x = \frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

Рассмотрим два случая:

1) $2x_1 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{2\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. Разделив на 2, получим: $x_1 = \frac{\pi}{4} + \pi k$.

2) $2x_2 = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = 0 + 2\pi k = 2\pi k$. Разделив на 2, получим: $x_2 = \pi k$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение: $2\cos(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3}) = -\sqrt{2}$.

Разделим обе части уравнения на 2:

$\cos(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Аргумент косинуса $\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3}$ должен быть равен:

$\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3} = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Так как $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$, получаем:

$\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$

Выразим $\frac{x}{3}$:

$\frac{x}{3} = -\frac{\pi}{3} \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$

Теперь умножим все уравнение на 3, чтобы найти $x$:

$x = 3(-\frac{\pi}{3} \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k) = -\pi \pm \frac{9\pi}{4} + 6\pi k$

Рассмотрим два случая:

1) $x_1 = -\pi + \frac{9\pi}{4} + 6\pi k = \frac{-4\pi + 9\pi}{4} + 6\pi k = \frac{5\pi}{4} + 6\pi k$.

2) $x_2 = -\pi - \frac{9\pi}{4} + 6\pi k = \frac{-4\pi - 9\pi}{4} + 6\pi k = -\frac{13\pi}{4} + 6\pi k$.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{4} + 6\pi k, x = -\frac{13\pi}{4} + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$.