Номер 6, страница 136, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

6. (2) Решите уравнения, применив формулы приведения:

а) $2\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+\sqrt{3}=0$;

б) $2\sin\left(\frac{3\pi}{2}-2x\right)=1$;

в) $\cos(7\pi+2x)=-1$;

г) $-28\sin\left(2x-\frac{7\pi}{2}\right)=\sqrt{392}$.

$2\sin(\frac{\pi}{2}+x) + \sqrt{3} = 0$

Применим формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha) = \cos(\alpha)$. Угол $(\frac{\pi}{2}+x)$ находится во второй координатной четверти, где синус положителен, поэтому функция синус меняется на косинус без изменения знака. Уравнение принимает вид:

$2\cos(x) + \sqrt{3} = 0$

Выразим $\cos(x)$:

$2\cos(x) = -\sqrt{3}$

$\cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Общее решение для данного тригонометрического уравнения:

$x = \pm\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm(\pi - \frac{\pi}{6}) + 2\pi k$

$x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

$2\sin(\frac{3\pi}{2}-2x) = 1$

Применим формулу приведения $\sin(\frac{3\pi}{2}-\alpha) = -\cos(\alpha)$. Угол $(\frac{3\pi}{2}-2x)$ находится в третьей координатной четверти, где синус отрицателен, поэтому функция синус меняется на косинус с изменением знака. Уравнение принимает вид:

$2(-\cos(2x)) = 1$

$-2\cos(2x) = 1$

Выразим $\cos(2x)$:

$\cos(2x) = -\frac{1}{2}$

Находим общее решение для аргумента $2x$:

$2x = \pm\arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$2x = \pm(\pi - \frac{\pi}{3}) + 2\pi k$

$2x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

$\cos(7\pi+2x) = -1$

Используем периодичность косинуса, $7\pi = 6\pi + \pi$. Так как $6\pi$ - это три полных периода ($3 \cdot 2\pi$), его можно отбросить:

$\cos(\pi+2x) = -1$

Применим формулу приведения $\cos(\pi+\alpha) = -\cos(\alpha)$. Угол $(\pi+2x)$ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен, функция не меняется. Получаем:

$-\cos(2x) = -1$

$\cos(2x) = 1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$2x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на 2:

$x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

$-28\sin(2x-\frac{7\pi}{2}) = \sqrt{392}$

Воспользуемся свойством нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$:

$-28\sin(-(\frac{7\pi}{2}-2x)) = \sqrt{392}$

$-28(-\sin(\frac{7\pi}{2}-2x)) = \sqrt{392}$

$28\sin(\frac{7\pi}{2}-2x) = \sqrt{392}$

Упростим правую часть: $\sqrt{392} = \sqrt{196 \cdot 2} = 14\sqrt{2}$.

Применим формулу приведения $\sin(\frac{7\pi}{2}-\alpha) = \sin(3\pi+\frac{\pi}{2}-\alpha) = -\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha) = -\cos(\alpha)$. Или можно заметить, что $\frac{7\pi}{2}$ соответствует точке на единичной окружности $\frac{3\pi}{2}$. Тогда $\sin(\frac{7\pi}{2}-\alpha) = \sin(\frac{3\pi}{2}-\alpha) = -\cos(\alpha)$.

Уравнение принимает вид:

$28(-\cos(2x)) = 14\sqrt{2}$

Выразим $\cos(2x)$:

$\cos(2x) = -\frac{14\sqrt{2}}{28} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Находим общее решение для $2x$:

$2x = \pm\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$2x = \pm(\pi - \frac{\pi}{4}) + 2\pi k$

$2x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$

Разделим обе части на 2:

$x = \pm\frac{3\pi}{8} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm\frac{3\pi}{8} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.