Номер 3, страница 135, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

3. (1)

а) $2\cos x = \sqrt{3};$

б) $2\cos\left(\frac{2x}{3} + \frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2};$

в) $2\cos\left(2\pi x - \frac{\pi}{5}\right) + \sqrt{3} = 0;$

г) $2\cos\left(\frac{\pi}{5} - 2x\right) = \sqrt{2}.$

а) $2\cos x = \sqrt{3}$

Сначала разделим обе части уравнения на 2, чтобы выразить $\cos x$:

$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Это является простейшим тригонометрическим уравнением. Общая формула для решения уравнения вида $\cos x = a$ следующая: $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В данном случае $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Главное значение арккосинуса для этого числа: $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем это значение в общую формулу решения:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) $2\cos\left(\frac{2x}{3} + \frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\cos\left(\frac{2x}{3} + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Аргумент косинуса, который мы обозначим как $t = \frac{2x}{3} + \frac{\pi}{4}$, должен удовлетворять уравнению $\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение для $t$ имеет вид:

$t = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}$, получаем:

$t = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

$\frac{2x}{3} + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$

Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из обеих частей:

$\frac{2x}{3} = -\frac{\pi}{4} \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$

Разобьем решение на два случая:

1) Используем знак плюс: $\frac{2x}{3} = -\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + 2\pi k = \frac{2\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Домножим на $\frac{3}{2}$: $x = \frac{3}{2} \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right) = \frac{3\pi}{4} + 3\pi k$.

2) Используем знак минус: $\frac{2x}{3} = -\frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} + 2\pi k = -\frac{4\pi}{4} + 2\pi k = -\pi + 2\pi k$.

Домножим на $\frac{3}{2}$: $x = \frac{3}{2} \left(-\pi + 2\pi k\right) = -\frac{3\pi}{2} + 3\pi k$.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + 3\pi k$; $x = -\frac{3\pi}{2} + 3\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

в) $2\cos\left(2\pi x - \frac{\pi}{5}\right) + \sqrt{3} = 0$

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выделить косинус. Перенесем $\sqrt{3}$ в правую часть и разделим на 2:

$2\cos\left(2\pi x - \frac{\pi}{5}\right) = -\sqrt{3}$

$\cos\left(2\pi x - \frac{\pi}{5}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь применим общую формулу для решения. Аргумент косинуса равен:

$2\pi x - \frac{\pi}{5} = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Значение арккосинуса: $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6}$.

$2\pi x - \frac{\pi}{5} = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$

Выразим $2\pi x$, прибавив $\frac{\pi}{5}$ к обеим частям:

$2\pi x = \frac{\pi}{5} \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$

Разделим все уравнение на $2\pi$, чтобы найти $x$:

$x = \frac{1}{2\pi} \left(\frac{\pi}{5} \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\right) = \frac{1}{10} \pm \frac{5}{12} + k$

Рассмотрим два случая:

1) Со знаком плюс: $x = \frac{1}{10} + \frac{5}{12} + k = \frac{6 \cdot 1 + 5 \cdot 5}{60} + k = \frac{6+25}{60} + k = \frac{31}{60} + k$.

2) Со знаком минус: $x = \frac{1}{10} - \frac{5}{12} + k = \frac{6 \cdot 1 - 5 \cdot 5}{60} + k = \frac{6-25}{60} + k = -\frac{19}{60} + k$.

Ответ: $x = \frac{31}{60} + k$; $x = -\frac{19}{60} + k$, $k \in \mathbb{Z}$.

г) $2\cos\left(\frac{\pi}{5} - 2x\right) = \sqrt{2}$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\cos\left(\frac{\pi}{5} - 2x\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Воспользуемся свойством четности функции косинуса, $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$. Таким образом, $\cos\left(\frac{\pi}{5} - 2x\right) = \cos\left(-\left(2x - \frac{\pi}{5}\right)\right) = \cos\left(2x - \frac{\pi}{5}\right)$.

Уравнение принимает вид:

$\cos\left(2x - \frac{\pi}{5}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Аргумент косинуса равен:

$2x - \frac{\pi}{5} = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Значение арккосинуса: $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$.

$2x - \frac{\pi}{5} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

Выразим $2x$:

$2x = \frac{\pi}{5} \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{10} \pm \frac{\pi}{8} + \pi k$

Рассмотрим два случая:

1) Со знаком плюс: $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi}{8} + \pi k = \frac{4\pi + 5\pi}{40} + \pi k = \frac{9\pi}{40} + \pi k$.

2) Со знаком минус: $x = \frac{\pi}{10} - \frac{\pi}{8} + \pi k = \frac{4\pi - 5\pi}{40} + \pi k = -\frac{\pi}{40} + \pi k$.

Ответ: $x = \frac{9\pi}{40} + \pi k$; $x = -\frac{\pi}{40} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.