Номер 4, страница 135, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

4. (1) a) $3\cos x - 1 = 0$;

6) $-\sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{3} - x\right) + 2 = 0$;

B) $10\cos \left(\frac{2x}{7} + \frac{\pi}{4}\right) + 7 = 0$;

Г) $2\cos \left(5x + \frac{\pi}{6}\right) = 7$.

а) Исходное уравнение: $3\cos x - 1 = 0$.
Для решения данного уравнения сначала выразим $\cos x$. Перенесем $-1$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$3\cos x = 1$
Теперь разделим обе части уравнения на 3:
$\cos x = \frac{1}{3}$
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $\cos x = a$, где $|a| \le 1$, записывается формулой:$x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k - любое целое число).
В нашем случае $a = \frac{1}{3}$, и это значение удовлетворяет условию $|a| \le 1$.
Подставляем значение в формулу:
$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $-\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right) + 2 = 0$.
Сначала изолируем слагаемое с косинусом. Перенесем 2 в правую часть уравнения:
$-\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right) = -2$
Теперь разделим обе части уравнения на $-\sqrt{2}$:
$\cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right) = \frac{-2}{-\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}}$
Упростим выражение в правой части, избавившись от иррациональности в знаменателе:
$\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$
Уравнение принимает вид:
$\cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right) = \sqrt{2}$
Область значений функции косинус - это отрезок $[-1, 1]$. Значение $\sqrt{2} \approx 1.414$, что больше 1. Так как $\sqrt{2} > 1$, то данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: нет решений.

в) Исходное уравнение: $10\cos\left(\frac{2x}{7} + \frac{\pi}{4}\right) + 7 = 0$.
Выразим функцию косинуса из данного уравнения. Перенесем 7 в правую часть:
$10\cos\left(\frac{2x}{7} + \frac{\pi}{4}\right) = -7$
Разделим обе части на 10:
$\cos\left(\frac{2x}{7} + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{7}{10}$
Так как $-1 \le -\frac{7}{10} \le 1$, уравнение имеет решения. Воспользуемся общей формулой для решения уравнения $\cos(t) = a$:
$t = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $t = \frac{2x}{7} + \frac{\pi}{4}$ и $a = -\frac{7}{10}$.
$\frac{2x}{7} + \frac{\pi}{4} = \pm \arccos\left(-\frac{7}{10}\right) + 2\pi k$
Теперь выразим $x$. Сначала перенесем $\frac{\pi}{4}$ в правую часть:
$\frac{2x}{7} = -\frac{\pi}{4} \pm \arccos\left(-\frac{7}{10}\right) + 2\pi k$
Умножим обе части уравнения на $\frac{7}{2}$:
$x = \frac{7}{2}\left(-\frac{\pi}{4} \pm \arccos\left(-\frac{7}{10}\right) + 2\pi k\right)$
Раскроем скобки:
$x = -\frac{7\pi}{8} \pm \frac{7}{2}\arccos\left(-\frac{7}{10}\right) + 7\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{7\pi}{8} \pm \frac{7}{2}\arccos\left(-\frac{7}{10}\right) + 7\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение: $2\cos\left(5x + \frac{\pi}{6}\right) = 7$.
Чтобы решить уравнение, выразим косинус. Разделим обе части уравнения на 2:
$\cos\left(5x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{7}{2}$
$\cos\left(5x + \frac{\pi}{6}\right) = 3.5$
Функция косинус может принимать значения только в диапазоне от -1 до 1 включительно. Так как значение $3.5$ больше 1, оно не входит в область значений функции косинус.
Следовательно, данное уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: нет решений.