Номер 7, страница 136, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

7. (2) Решите уравнения, используя замену переменной $\cos x = p$:

a) $\cos^2 x - 3\cos x + 2 = 0$;

б) $\cos^2 x - 5\cos x + 26 = 0$;

в) $5\cos^2 x - \cos x = 0$.

a) Дано уравнение $cos^2 x - 3cos x + 2 = 0$.

Следуя условию, введем замену переменной $p = \cos x$. Важно помнить, что область значений функции косинус ограничена отрезком $[-1, 1]$, поэтому для переменной $p$ должно выполняться условие $|p| \le 1$.

После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $p$:

$p^2 - 3p + 2 = 0$.

Решим это уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета. Сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Легко подобрать корни:

$p_1 = 1$

$p_2 = 2$

Теперь необходимо выполнить обратную замену и проверить, удовлетворяют ли найденные значения $p$ условию $|p| \le 1$.

1. Для $p_1 = 1$:
$\cos x = 1$
Это значение входит в область значений косинуса. Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:
$x = 2\pi k$, где $k \in Z$.

2. Для $p_2 = 2$:
$\cos x = 2$
Это значение не входит в область значений косинуса, так как $2 > 1$. Следовательно, это уравнение не имеет решений.

Таким образом, решением исходного уравнения является только первая серия корней.

Ответ: $x = 2\pi k, k \in Z$.

б) Дано уравнение $cos^2 x - 5cos x + 26 = 0$.

Введем замену переменной $p = \cos x$, где $|p| \le 1$.

Получим квадратное уравнение:

$p^2 - 5p + 26 = 0$.

Для решения найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 26 = 25 - 104 = -79$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней для переменной $p$.

Следовательно, исходное тригонометрическое уравнение также не имеет решений.

Ответ: решений нет.

в) Дано уравнение $5cos^2 x - cos x = 0$.

Введем замену переменной $p = \cos x$, где $|p| \le 1$.

Уравнение принимает вид неполного квадратного уравнения:

$5p^2 - p = 0$.

Вынесем общий множитель $p$ за скобки:

$p(5p - 1) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

$p_1 = 0$

$5p_2 - 1 = 0 \implies 5p_2 = 1 \implies p_2 = \frac{1}{5}$

Оба найденных значения для $p$ удовлетворяют условию $|p| \le 1$. Выполним обратную замену.

1. Для $p_1 = 0$:
$\cos x = 0$
Решением этого уравнения является серия корней:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$.

2. Для $p_2 = \frac{1}{5}$:
$\cos x = \frac{1}{5}$
Решением этого уравнения является серия корней:
$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{5}\right) + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Объединяя обе серии корней, получаем общее решение.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$; $x = \pm \arccos\left(\frac{1}{5}\right) + 2\pi n, n \in Z$.