Номер 12, страница 136, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

12. (1)

a) $2\cos \frac{2x}{3} - 2\sqrt{2}=0;$

б) $\cos 3x=\sqrt{5}-2;$

В) $\cos 5x-\sqrt{5}=-4;$

г) $11\cos \left(x+\frac{\pi}{13}\right)=-3\pi.$

а) $2\cos\frac{2x}{3}-2\sqrt{2}=0$
Сначала преобразуем уравнение, чтобы выделить косинус.
Перенесем $2\sqrt{2}$ в правую часть уравнения:
$2\cos\frac{2x}{3} = 2\sqrt{2}$
Разделим обе части на 2:
$\cos\frac{2x}{3} = \sqrt{2}$
Область значений функции косинуса — это отрезок $[-1, 1]$.
Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $\sqrt{2} > 1$.
Значение $\sqrt{2}$ не входит в область значений косинуса, следовательно, данное уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.

б) $\cos 3x = \sqrt{5}-2$
Оценим значение выражения в правой части. Мы знаем, что $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$, то есть $2 < \sqrt{5} < 3$.
Следовательно, $2-2 < \sqrt{5}-2 < 3-2$, что дает $0 < \sqrt{5}-2 < 1$.
Поскольку значение $\sqrt{5}-2$ находится в интервале $[-1, 1]$, уравнение имеет решения.
Общее решение для уравнения $\cos t = a$, где $|a| \le 1$, имеет вид $t = \pm\arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $t = 3x$ и $a = \sqrt{5}-2$.
$3x = \pm\arccos(\sqrt{5}-2) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:
$x = \pm\frac{1}{3}\arccos(\sqrt{5}-2) + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \pm\frac{1}{3}\arccos(\sqrt{5}-2) + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

в) $\cos 5x - \sqrt{5} = -4$
Выразим $\cos 5x$ из уравнения:
$\cos 5x = \sqrt{5} - 4$
Оценим значение выражения в правой части. Приближенное значение $\sqrt{5} \approx 2.236$.
Тогда $\sqrt{5} - 4 \approx 2.236 - 4 = -1.764$.
Область значений функции косинуса — отрезок $[-1, 1]$.
Поскольку $-1.764 < -1$, значение $\sqrt{5} - 4$ не входит в область значений косинуса.
Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.

г) $11\cos(x+\frac{\pi}{13})=-3\pi$
Выразим косинус из уравнения, разделив обе части на 11:
$\cos(x+\frac{\pi}{13}) = -\frac{3\pi}{11}$
Оценим значение правой части. Используя приближение $\pi \approx 3.1416$:
$-\frac{3\pi}{11} \approx -\frac{3 \times 3.1416}{11} = -\frac{9.4248}{11} \approx -0.8568$
Так как $-1 \le -0.8568 \le 1$, значение $-\frac{3\pi}{11}$ входит в область значений косинуса, и уравнение имеет решения.
Применим общую формулу решения $t = \pm\arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Здесь $t = x+\frac{\pi}{13}$ и $a = -\frac{3\pi}{11}$.
$x+\frac{\pi}{13} = \pm\arccos(-\frac{3\pi}{11}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Выразим $x$, перенеся $\frac{\pi}{13}$ в правую часть:
$x = -\frac{\pi}{13} \pm\arccos(-\frac{3\pi}{11}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = -\frac{\pi}{13} \pm\arccos(-\frac{3\pi}{11}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.