Номер 5, страница 136, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

5. (1) а) $4\cos\frac{2x}{3} - 3\sqrt{2} = 0;$

б) $\cos\frac{x}{2} = 5 - \sqrt{27};$

в) $\cos2x - \sqrt{15} = \frac{\pi}{3};$

г) $5\cos\left(x + \frac{\pi}{8}\right) = -\pi.$

а) $4\cos\frac{2x}{3}-3\sqrt{2}=0$
Сначала выразим $\cos\frac{2x}{3}$ из уравнения. Перенесем $-3\sqrt{2}$ в правую часть и разделим обе части на 4:
$4\cos\frac{2x}{3} = 3\sqrt{2}$
$\cos\frac{2x}{3} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$
Оценим значение выражения в правой части. Возведем его в квадрат: $(\frac{3\sqrt{2}}{4})^2 = \frac{9 \cdot 2}{16} = \frac{18}{16}$.
Так как $\frac{18}{16} > 1$, то и $\frac{3\sqrt{2}}{4} > 1$.
Область значений функции косинус — это отрезок $[-1; 1]$. Поскольку значение $\frac{3\sqrt{2}}{4}$ не входит в этот отрезок, уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений.

б) $\cos\frac{x}{2} = 5-\sqrt{27}$
Упростим выражение в правой части: $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$.
Уравнение принимает вид: $\cos\frac{x}{2} = 5-3\sqrt{3}$.
Оценим значение $5-3\sqrt{3}$. Приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$.
$5 - 3 \cdot 1.732 = 5 - 5.196 = -0.196$.
Так как $-1 \le -0.196 \le 1$, значение $5-3\sqrt{3}$ входит в область значений функции косинус, следовательно, уравнение имеет решения.
Общее решение уравнения $\cos t = a$ дается формулой $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $t = \frac{x}{2}$ и $a = 5-3\sqrt{3}$.
$\frac{x}{2} = \pm \arccos(5-3\sqrt{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Чтобы найти $x$, умножим обе части на 2:
$x = \pm 2\arccos(5-3\sqrt{3}) + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \pm 2\arccos(5-3\sqrt{3}) + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $\cos 2x - \sqrt{15} = \frac{\pi}{3}$
Выразим $\cos 2x$ из уравнения:
$\cos 2x = \frac{\pi}{3} + \sqrt{15}$
Оценим значение выражения в правой части. Используем приближенные значения: $\pi \approx 3.14$ и $\sqrt{15} \approx 3.87$ (поскольку $\sqrt{9}=3$ и $\sqrt{16}=4$).
$\frac{\pi}{3} + \sqrt{15} \approx \frac{3.14}{3} + 3.87 \approx 1.05 + 3.87 = 4.92$.
Это значение значительно больше 1.
Область значений функции косинус — это отрезок $[-1; 1]$. Так как $\frac{\pi}{3} + \sqrt{15} > 1$, уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений.

г) $5\cos(x+\frac{\pi}{8}) = -\pi$
Выразим косинус из уравнения, разделив обе части на 5:
$\cos(x+\frac{\pi}{8}) = -\frac{\pi}{5}$
Оценим значение правой части. Используя $\pi \approx 3.14$:
$-\frac{\pi}{5} \approx -\frac{3.14}{5} = -0.628$.
Значение $-0.628$ находится в пределах от -1 до 1, поэтому уравнение имеет решения.
Применим общую формулу для решения уравнения $\cos t = a$: $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $t = x+\frac{\pi}{8}$ и $a = -\frac{\pi}{5}$.
$x+\frac{\pi}{8} = \pm \arccos(-\frac{\pi}{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Чтобы найти $x$, вычтем $\frac{\pi}{8}$ из обеих частей:
$x = -\frac{\pi}{8} \pm \arccos(-\frac{\pi}{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = -\frac{\pi}{8} \pm \arccos(-\frac{\pi}{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.