Номер 10, страница 136, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

10. (1)
a) $2\cos x = -\sqrt{3}$;
б) $2\cos\left(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{3}$;
в) $2\cos\left(3\pi x - \frac{\pi}{5}\right) = \sqrt{3}$;
г) $2\cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{x}{6}\right) = -\sqrt{3}$.

а) $2\cos x = -\sqrt{3}$

• Разделим обе части на 2: $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Используем формулу: $x = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k$.
• Так как $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$, то $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
• $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $2\cos\left(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{3}$

• $\cos\left(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
• $\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.
• Перенесем $\frac{\pi}{4}$: $\frac{3x}{2} = \frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.
• Умножим на $\frac{2}{3}$: $x = \frac{2}{3}\left(\frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{6}\right) + \frac{4\pi k}{3}$.
• Раскроем скобки: $x = \frac{\pi}{6} \pm \frac{\pi}{9} + \frac{4\pi k}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6} \pm \frac{\pi}{9} + \frac{4\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

в) $2\cos\left(3\pi x - \frac{\pi}{5}\right) = \sqrt{3}$

• $\cos\left(3\pi x - \frac{\pi}{5}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
• $3\pi x - \frac{\pi}{5} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.
• Разделим всё уравнение на $\pi$: $3x - \frac{1}{5} = \pm \frac{1}{6} + 2k$.
• $3x = \frac{1}{5} \pm \frac{1}{6} + 2k$.
• Разделим на 3: $x = \frac{1}{15} \pm \frac{1}{18} + \frac{2k}{3}$.
• Приведем к общему знаменателю: $x = \frac{6 \pm 5}{90} + \frac{2k}{3}$.

Ответ: $\frac{6 \pm 5}{90} + \frac{2k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

г) $2\cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{x}{6}\right) = -\sqrt{3}$

• Используем четность косинуса $\cos(\alpha) = \cos(-\alpha)$, поэтому $\cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{x}{6}\right) = \cos\left(\frac{x}{6} - \frac{\pi}{6}\right)$.
• $\cos\left(\frac{x}{6} - \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• $\frac{x}{6} - \frac{\pi}{6} = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.
• Умножим всё на 6: $x - \pi = \pm 5\pi + 12\pi k$.
• $x = \pi \pm 5\pi + 12\pi k$.
• Разберем два случая: $x_1 = 6\pi + 12\pi k$ (что можно записать как $6\pi(1+2k)$) и $x_2 = -4\pi + 12\pi k$.

Ответ: $6\pi + 12\pi k; -4\pi + 12\pi k, k \in \mathbb{Z}$.