Номер 10, страница 136, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

10. (1)
a) $2\cos x = -\sqrt{3}$;
б) $2\cos\left(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{3}$;
в) $2\cos\left(3\pi x - \frac{\pi}{5}\right) = \sqrt{3}$;
г) $2\cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{x}{6}\right) = -\sqrt{3}$.

a) Исходное уравнение: $2\cos x = -\sqrt{3}$.
Разделим обе части уравнения на 2, чтобы выделить $\cos x$:
$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения $\cos x = a$ имеет вид $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Найдем арккосинус, используя формулу $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$:
$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Следовательно, общее решение уравнения:
$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $2\cos(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{3}$.
Разделим обе части на 2:
$\cos(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Аргумент косинуса должен быть равен $\pm \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$, получаем:
$\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.
Выразим $x$. Сначала перенесем $-\frac{\pi}{4}$ в правую часть:
$\frac{3x}{2} = \frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.
Теперь умножим обе части на $\frac{2}{3}$:
$x = \frac{2}{3} \left( \frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \right) = \frac{2\pi}{12} \pm \frac{2\pi}{18} + \frac{4\pi n}{3} = \frac{\pi}{6} \pm \frac{\pi}{9} + \frac{4\pi n}{3}$.
Разобьем решение на две серии корней:
1) $x_1 = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{9} + \frac{4\pi n}{3} = \frac{3\pi + 2\pi}{18} + \frac{4\pi n}{3} = \frac{5\pi}{18} + \frac{4\pi n}{3}$.
2) $x_2 = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{9} + \frac{4\pi n}{3} = \frac{3\pi - 2\pi}{18} + \frac{4\pi n}{3} = \frac{\pi}{18} + \frac{4\pi n}{3}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{18} + \frac{4\pi n}{3}, x = \frac{5\pi}{18} + \frac{4\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение: $2\cos(3\pi x - \frac{\pi}{5}) = \sqrt{3}$.
Разделим обе части на 2:
$\cos(3\pi x - \frac{\pi}{5}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Аргумент косинуса равен $\pm \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. (Используем $k$, чтобы не путать с $n$ из других заданий).
$\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$, поэтому:
$3\pi x - \frac{\pi}{5} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.
Выразим $x$. Перенесем $-\frac{\pi}{5}$ в правую часть:
$3\pi x = \frac{\pi}{5} \