Номер 1, страница 135, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Решите уравнения (1-5):

1. (1)

а) $ \cos x = 1 $;

б) $ \cos \frac{x}{2} = 1 $;

В) $ \cos \left( 2x - \frac{\pi}{3} \right) = 0 $;

Г) $ \cos \left( \frac{\pi}{4} - 3\pi x \right) = 1 $.

а) Решим уравнение $\cos x = 1$.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Косинус равен единице, когда его аргумент равен $2\pi n$, где $n$ — любое целое число.

Следовательно, $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $\cos\frac{x}{2} = 1$.

Аналогично предыдущему пункту, аргумент косинуса должен быть равен $2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\frac{x}{2} = 2\pi n$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 2:

$x = 2 \cdot 2\pi n = 4\pi n$.

Ответ: $x = 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим уравнение $\cos(2x - \frac{\pi}{3}) = 0$.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Косинус равен нулю, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.

$2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Перенесем $-\frac{\pi}{3}$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$2x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + \pi n$.

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$2x = \frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + \pi n$.

$2x = \frac{5\pi}{6} + \pi n$.

Разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим уравнение $\cos(\frac{\pi}{4} - 3\pi x) = 1$.

Используем свойство четности функции косинус: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$. Поэтому $\cos(\frac{\pi}{4} - 3\pi x) = \cos(3\pi x - \frac{\pi}{4})$.

Уравнение принимает вид: $\cos(3\pi x - \frac{\pi}{4}) = 1$.

Аргумент косинуса должен быть равен $2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$3\pi x - \frac{\pi}{4} = 2\pi n$.

Перенесем $-\frac{\pi}{4}$ в правую часть уравнения:

$3\pi x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

Разделим обе части уравнения на $3\pi$:

$x = \frac{\frac{\pi}{4}}{3\pi} + \frac{2\pi n}{3\pi}$.

$x = \frac{\pi}{4 \cdot 3\pi} + \frac{2n}{3}$.

$x = \frac{1}{12} + \frac{2n}{3}$.

Ответ: $x = \frac{1}{12} + \frac{2n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.