Номер 14, страница 130, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

14. (2) Решите уравнения, используя замену переменной $\sin x = p$:

а) $\sin^2 x - 5\sin x + 4 = 0$;

б) $\sin^2 x + 5\sin x + 6 = 0$;

в) $\sin^2 x + 5\sin x = 0$.

а) $sin^2 x - 5\sin x + 4 = 0$

Введем замену переменной, как предложено в условии: пусть $\sin x = p$.

Поскольку область значений функции синус $[-1; 1]$, то для переменной $p$ должно выполняться условие $|p| \le 1$, то есть $-1 \le p \le 1$.

Подставим $p$ в исходное уравнение и получим квадратное уравнение относительно $p$:

$p^2 - 5p + 4 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$.

Корни уравнения:

$p_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = 4$

$p_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = 1$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию $-1 \le p \le 1$.

Корень $p_1 = 4$ не удовлетворяет условию, так как $4 > 1$. Следовательно, это посторонний корень.

Корень $p_2 = 1$ удовлетворяет условию.

Выполним обратную замену для $p_2 = 1$:

$\sin x = 1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения, решением которого является серия корней: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $sin^2 x + 5\sin x + 6 = 0$

Выполним замену переменной $\sin x = p$, при этом должно выполняться условие $-1 \le p \le 1$.

Получим следующее квадратное уравнение:

$p^2 + 5p + 6 = 0$

Решим его. По теореме Виета, сумма корней $p_1 + p_2 = -5$, а их произведение $p_1 \cdot p_2 = 6$. Подбором находим корни: $p_1 = -2$ и $p_2 = -3$.

Либо через дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

$p_1 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$p_2 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Проверим найденные корни на соответствие условию $-1 \le p \le 1$.

Корень $p_1 = -2$ не удовлетворяет условию, так как $-2 < -1$.

Корень $p_2 = -3$ также не удовлетворяет условию, так как $-3 < -1$.

Поскольку ни один из корней квадратного уравнения не попадает в допустимый диапазон значений для синуса, исходное тригонометрическое уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

в) $sin^2 x + 5\sin x = 0$

Сделаем замену $\sin x = p$, где $-1 \le p \le 1$.

Уравнение примет вид неполного квадратного уравнения:

$p^2 + 5p = 0$

Решим его, вынеся общий множитель $p$ за скобки:

$p(p + 5) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $p$:

$p_1 = 0$

$p + 5 = 0 \implies p_2 = -5$

Проверим полученные корни на соответствие условию $-1 \le p \le 1$.

Корень $p_1 = 0$ удовлетворяет условию, так как $-1 \le 0 \le 1$.

Корень $p_2 = -5$ не удовлетворяет условию, так как $-5 < -1$.

Таким образом, нам подходит только один корень. Выполним обратную замену для $p_1 = 0$:

$\sin x = 0$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Его решение: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.