Номер 8, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Решите уравнение (8-12):

8. (1) а) $sin x = 1$;

б) $sin \frac{x}{2} = 1$;

в) $sin \left(2x+\frac{\pi}{3}\right) = 1$;

г) $sin \left(\frac{\pi}{4}-3x\right) = 1$.

a) Дано уравнение $sin x = 1$.
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение для уравнения вида $sin t = 1$ записывается как $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
В данном случае аргументом синуса является $x$, поэтому решение уравнения:
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Дано уравнение $sin\frac{x}{2} = 1$.
Это уравнение также является частным случаем $sin t = 1$, где $t = \frac{x}{2}$.
Общее решение имеет вид: $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Подставим вместо $t$ выражение $\frac{x}{2}$:
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$
Для того чтобы выразить $x$, умножим обе части уравнения на 2:
$x = 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right)$
$x = \pi + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Дано уравнение $sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = 1$.
Снова используем общее решение для $sin t = 1$, где на этот раз $t = 2x + \frac{\pi}{3}$.
Приравниваем аргумент синуса к общему решению:
$2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Теперь решим это линейное уравнение относительно $x$. Сначала перенесем $\frac{\pi}{3}$ в правую часть:
$2x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$2x = \frac{3\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + 2\pi k$
$2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
Разделим обе части уравнения на 2:
$x = \frac{\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Дано уравнение $sin\left(\frac{\pi}{4} - 3x\right) = 1$.
Аргумент синуса в данном случае $t = \frac{\pi}{4} - 3x$.
Применяем общее решение для $sin t = 1$:
$\frac{\pi}{4} - 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Решаем уравнение относительно $x$. Выразим член, содержащий $x$:
$-3x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
Приводим дроби в правой части к общему знаменателю 4:
$-3x = \frac{2\pi - \pi}{4} + 2\pi k$
$-3x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
Разделим обе части на -3:
$x = -\frac{\pi}{12} - \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{12} - \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.