Номер 13, страница 130, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

13. (2) Решите уравнения, применив формулы приведения:

а) $2\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+\sqrt{3}=0$;

б) $2\cos\left(\frac{3\pi}{2}-2x\right)=1$;

в) $\sin(7\pi+2x)=-1$;

г) $18\cos\left(2x-\frac{7\pi}{2}\right)=\sqrt{243}$.

а) $2\cos(\frac{\pi}{2} + x) + \sqrt{3} = 0$

Применим формулу приведения для косинуса: $\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin(x)$. Угол $(\frac{\pi}{2} + x)$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен, и так как в формуле присутствует $\frac{\pi}{2}$, функция меняется на синус.

Подставим это в исходное уравнение:

$2(-\sin(x)) + \sqrt{3} = 0$

$-2\sin(x) = -\sqrt{3}$

Разделим обе части на -2:

$\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение имеет вид $x = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $2\cos(\frac{3\pi}{2} - 2x) = 1$

Применим формулу приведения: $\cos(\frac{3\pi}{2} - 2x) = -\sin(2x)$. Угол $(\frac{3\pi}{2} - 2x)$ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен, и так как в формуле присутствует $\frac{3\pi}{2}$, функция меняется на синус.

Подставим в уравнение:

$2(-\sin(2x)) = 1$

$\sin(2x) = -\frac{1}{2}$

Решение этого уравнения: $2x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$, получаем:

$2x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k$

$2x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$

Теперь выразим $x$, разделив обе части на 2:

$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

в) $\sin(7\pi + 2x) = -1$

Применим формулу приведения. Период синуса равен $2\pi$, поэтому можно отбросить $6\pi$: $\sin(7\pi + 2x) = \sin(6\pi + \pi + 2x) = \sin(\pi + 2x)$.

Теперь применим формулу $\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$.

$\sin(\pi + 2x) = -\sin(2x)$.

Уравнение принимает вид:

$-\sin(2x) = -1$

$\sin(2x) = 1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Его решение:

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $18\cos(2x - \frac{7\pi}{2}) = \sqrt{243}$

Сначала упростим правую часть: $\sqrt{243} = \sqrt{81 \cdot 3} = 9\sqrt{3}$.

$18\cos(2x - \frac{7\pi}{2}) = 9\sqrt{3}$

Разделим обе части на 18:

$\cos(2x - \frac{7\pi}{2}) = \frac{9\sqrt{3}}{18} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Так как косинус — чётная функция, $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, то $\cos(2x - \frac{7\pi}{2}) = \cos(\frac{7\pi}{2} - 2x)$.

Применим формулу приведения к $\cos(\frac{7\pi}{2} - 2x)$. Так как $\frac{7\pi}{2} = 4\pi - \frac{\pi}{2}$, то угол находится в четвёртой четверти, где косинус положителен. Наличие $\frac{7\pi}{2}$ (нечетное число раз по $\frac{\pi}{2}$) меняет функцию на синус.

$\cos(\frac{7\pi}{2} - 2x) = \sin(2x)$.

Уравнение принимает вид:

$\sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решение этого уравнения:

$2x = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$2x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$

Выразим $x$:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.