Номер 2, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

2. (1)

а) $\sin x = -\frac{1}{2}$;

б) $\sin (-2x) = -\frac{1}{2}$;

в) $2\sin \left(3x - \frac{\pi}{6}\right) = 1$;

г) $\sin \left(\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2}\right) = \frac{1}{2}$.

а)

Дано уравнение $\sin x = \frac{1}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение уравнения вида $\sin x = a$ (где $|a| \leq 1$) записывается по формуле $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $a = \frac{1}{2}$, и мы знаем, что $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляя это значение в общую формулу, получаем:

$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Это решение можно также представить в виде двух серий:

$x_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x_2 = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Обе формы записи являются верными. Будем использовать более компактную первую форму.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение $\sin(-2x) = -\frac{1}{2}$.

Функция синус является нечетной, то есть $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$. Применим это свойство к нашему уравнению:

$-\sin(2x) = -\frac{1}{2}$.

Умножим обе части уравнения на -1:

$\sin(2x) = \frac{1}{2}$.

Теперь решим это уравнение относительно $2x$. По аналогии с пунктом а), получаем:

$2x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2:

$x = \frac{(-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n}{2} = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано уравнение $2\sin(3x - \frac{\pi}{6}) = 1$.

Сначала разделим обе части уравнения на 2, чтобы выделить синус:

$\sin(3x - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Это означает, что аргумент синуса, $(3x - \frac{\pi}{6})$, должен быть равен одному из углов, синус которых равен $\frac{1}{2}$. Эти углы можно выразить двумя сериями решений:

1) $3x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $3x - \frac{\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим каждое уравнение относительно $x$.

Для первой серии:

$3x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$3x = \frac{2\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}$.

Для второй серии:

$3x = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$3x = \frac{6\pi}{6} + 2\pi k = \pi + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}$.

Объединяя обе серии, получаем полное решение.

Ответ: $x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение $\sin(\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$.

Аргумент синуса $(\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2})$ должен быть равен углу, синус которого равен $\frac{1}{2}$. Как и в предыдущем пункте, рассмотрим две серии решений:

1) $\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2} = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим каждое уравнение относительно $x$.

Для первой серии:

$-\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$-\frac{x}{2} = 2\pi k$

$x = -4\pi k$. Поскольку $k$ - любое целое число, мы можем заменить $-k$ на $k$ и записать $x = 4\pi k$.

Для второй серии:

$-\frac{x}{2} = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$-\frac{x}{2} = \frac{4\pi}{6} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

$x = -2 \left( \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \right) = -\frac{4\pi}{3} - 4\pi k$.

Объединяя обе серии, получаем полное решение.

Ответ: $x = 4\pi k, x = -\frac{4\pi}{3} - 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$.