Номер 18, страница 120, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

18. (2)

Пусть даны числа $a$ и $b$, про которые известно, что $01$. Среди следующих пяти чисел укажите наименьшее: $ab$, $a$, $a:b$, $b$, $a+b$.

По условию задачи даны числа $a$ и $b$, такие что $0 < a < 1$ и $b > 1$. Нам нужно сравнить пять чисел: $ab$, $a$, $a:b$, $b$ и $a+b$, и найти среди них наименьшее.

Для решения задачи будем последовательно сравнивать числа друг с другом, используя свойства неравенств. В качестве точки отсчета для сравнения удобно выбрать число $a$.

Сравнение $a$ и $ab$. Поскольку $b > 1$ и $a$ является положительным числом ($a > 0$), то произведение $a$ на число, большее единицы, будет больше самого числа $a$. Математически это можно показать так: $ab - a = a(b-1)$. Так как $a > 0$ и $(b-1) > 0$, то их произведение $a(b-1) > 0$, следовательно, $ab > a$.

Сравнение $a$ и $b$. Из условий $0 < a < 1$ и $b > 1$ напрямую следует, что $a < b$.

Сравнение $a$ и $a+b$. Поскольку $b > 1$, то $b$ является положительным числом. Прибавление положительного числа $b$ к числу $a$ дает сумму, которая очевидно больше $a$. Следовательно, $a+b > a$.

Сравнение $a$ и $a:b$. Выражение $a:b$ означает частное $\frac{a}{b}$. Так как по условию $b > 1$, то обратное ему число $\frac{1}{b}$ будет удовлетворять неравенству $0 < \frac{1}{b} < 1$. Умножение положительного числа $a$ на положительное число $\frac{1}{b}$ (которое меньше единицы) дает произведение, меньшее $a$. Математически: $a - \frac{a}{b} = a(1 - \frac{1}{b})$. Так как $a > 0$ и $(1 - \frac{1}{b}) > 0$, то их произведение $a(1-\frac{1}{b}) > 0$, следовательно, $a > \frac{a}{b}$.

Итог. В результате сравнений мы получили следующую цепочку неравенств: $\frac{a}{b} < a < b$, $\frac{a}{b} < a < ab$ и $\frac{a}{b} < a < a+b$. Из этого следует, что число $\frac{a}{b}$ меньше всех остальных четырех чисел. Таким образом, наименьшим из всех пяти предложенных чисел является $a:b$.

Для наглядности можно проверить это на конкретном примере. Пусть $a = 0.5$ и $b = 2$. Тогда получим следующие значения: $ab = 0.5 \cdot 2 = 1$; $a = 0.5$; $a:b = 0.5 : 2 = 0.25$; $b = 2$; $a+b = 0.5 + 2 = 2.5$. Сравнивая полученные числа $1; 0.5; 0.25; 2; 2.5$, мы видим, что наименьшим из них является $0.25$, которое соответствует значению $a:b$.

Ответ: $a:b$.