Номер 2, страница 141, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

2. Решите уравнения:

а) $ctg x = 0$;

б) $ctg x = -1$;

в) $ctg x = \sqrt{3}$;

г) $ctg x = 5$;

д) $ctg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

а)

Дано тригонометрическое уравнение $\text{ctg } x = 0$.

Общее решение уравнения вида $\text{ctg } x = a$ определяется формулой $x = \text{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целые числа).

В данном случае $a = 0$. Подставляем это значение в общую формулу:

$x = \text{arcctg}(0) + \pi n$.

Значение арккотангенса от нуля равно $\frac{\pi}{2}$, так как котангенс угла равен нулю, когда косинус этого угла равен нулю (а синус не равен нулю), что соответствует углам $\frac{\pi}{2}$.

Следовательно, получаем решение:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано тригонометрическое уравнение $\text{ctg } x = -1$.

Используем общую формулу для решения: $x = \text{arcctg}(-1) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Для нахождения значения $\text{arcctg}(-1)$ воспользуемся свойством арккотангенса: $\text{arcctg}(-a) = \pi - \text{arcctg}(a)$.

Применяя это свойство, получаем: $\text{arcctg}(-1) = \pi - \text{arcctg}(1)$.

Так как $\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$, то $\text{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Тогда $\text{arcctg}(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Подставляем найденное значение в формулу решения:

$x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано тригонометрическое уравнение $\text{ctg } x = \sqrt{3}$.

По общей формуле решения $x = \text{arcctg}(\sqrt{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Из таблицы стандартных тригонометрических значений известно, что котангенс угла $\frac{\pi}{6}$ равен $\sqrt{3}$.

Следовательно, $\text{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем это значение в формулу:

$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано тригонометрическое уравнение $\text{ctg } x = 5$.

Применяем общую формулу $x = \text{arcctg}(a) + \pi n$, подставляя $a=5$.

$x = \text{arcctg}(5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку 5 не является стандартным (табличным) значением котангенса, ответ оставляют в таком виде, выраженным через арккотангенс.

Ответ: $x = \text{arcctg}(5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

д)

Дано тригонометрическое уравнение $\text{ctg } x = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Преобразуем значение $\frac{\sqrt{3}}{3}$, чтобы узнать, соответствует ли оно табличному: $\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Таким образом, уравнение принимает вид $\text{ctg } x = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Используем общую формулу решения: $x = \text{arcctg}(\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Из таблицы стандартных тригонометрических значений известно, что котангенс угла $\frac{\pi}{3}$ равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Следовательно, $\text{arcctg}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем это значение в формулу:

$x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.