Номер 6, страница 119, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

6.

a) (2) Решите уравнение $ \text{arctg}(4x^2-8x-1)=-\frac{\pi}{4} $;

б) (2) Решите неравенство $ \text{arctg}(4x^2-8x-1)>-\frac{\pi}{4} $;

в) (3) Решите неравенство $ \text{arctg}(4x^2-8x-1)\leq-\frac{\pi}{4} $.

а) Решим уравнение $arctg(4x^2 - 8x - 1) = -\frac{\pi}{4}$.

По определению арктангенса, если $arctg(a) = b$, то $tg(b) = a$. Применив функцию тангенса к обеим частям уравнения, получим:

$tg(arctg(4x^2 - 8x - 1)) = tg(-\frac{\pi}{4})$

Используя тождество $tg(arctg(y)) = y$ и значение $tg(-\frac{\pi}{4}) = -1$, приходим к квадратному уравнению:

$4x^2 - 8x - 1 = -1$

Упростим уравнение:

$4x^2 - 8x = 0$

Вынесем общий множитель $4x$ за скобки:

$4x(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находим корни:

$4x = 0 \implies x_1 = 0$

$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

Ответ: $x \in \{0, 2\}$.

б) Решим неравенство $arctg(4x^2 - 8x - 1) > \frac{\pi}{4}$.

Функция $y = arctg(t)$ является строго возрастающей на всей числовой оси. Это значит, что неравенство $arctg(a) > arctg(b)$ равносильно неравенству $a > b$.

Представим правую часть неравенства через арктангенс: $\frac{\pi}{4} = arctg(1)$.

Неравенство принимает вид:

$arctg(4x^2 - 8x - 1) > arctg(1)$

В силу возрастания функции $arctg(t)$, это неравенство эквивалентно следующему:

$4x^2 - 8x - 1 > 1$

Перенесем все члены в левую часть:

$4x^2 - 8x - 2 > 0$

Разделим обе части на 2 для упрощения:

$2x^2 - 4x - 1 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $2x^2 - 4x - 1 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 16 + 8 = 24$.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

Корни уравнения: $x_1 = 1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$ и $x_2 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Графиком функции $y = 2x^2 - 4x - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, неравенство $2x^2 - 4x - 1 > 0$ выполняется для значений $x$, находящихся за пределами интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; 1 - \frac{\sqrt{6}}{2}) \cup (1 + \frac{\sqrt{6}}{2}; +\infty)$.

в) Решим неравенство $arctg(4x^2 - 8x - 1) \le -\frac{\pi}{4}$.

Аналогично предыдущему пункту, используем свойство строгой монотонности (возрастания) функции $y = arctg(t)$.

Представим правую часть неравенства через арктангенс: $-\frac{\pi}{4} = arctg(-1)$.

Неравенство можно переписать в виде:

$arctg(4x^2 - 8x - 1) \le arctg(-1)$

Так как функция $arctg(t)$ возрастающая, это неравенство равносильно следующему:

$4x^2 - 8x - 1 \le -1$

Упростим его:

$4x^2 - 8x \le 0$

Разделим обе части на 4:

$x^2 - 2x \le 0$

Разложим левую часть на множители:

$x(x - 2) \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корнями выражения $x(x-2)$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y = x^2 - 2x$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции не положительны ($ \le 0$) на отрезке между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in [0, 2]$.