Номер 3, страница 118, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

3. a)(1) Решите уравнение $arccos\\left(x^2 - \\frac{5}{2}x + 2\\right) = \\frac{\\pi}{3}$;

б)(2) Решите неравенство $arccos\\left(x^2 - \\frac{5}{2}x + 2\\right) < \\frac{\\pi}{3}$;

в)(3) Решите неравенство $arccos\\left(x^2 - \\frac{5}{2}x + 2\\right) > \\frac{\\pi}{3}$.

а) (1) Решите уравнение $\arccos(x^2 - \frac{5}{2}x + 2) = \frac{\pi}{3}$

По определению арккосинуса, если $\arccos(y) = a$, то $y = \cos(a)$.
Применим это к нашему уравнению:
$x^2 - \frac{5}{2}x + 2 = \cos(\frac{\pi}{3})$
Так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, получаем:
$x^2 - \frac{5}{2}x + 2 = \frac{1}{2}$
Перенесем все в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$x^2 - \frac{5}{2}x + 2 - \frac{1}{2} = 0$
$x^2 - \frac{5}{2}x + \frac{3}{2} = 0$
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:
$2x^2 - 5x + 3 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 1}{4}$
$x_1 = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$
$x_2 = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
При решении уравнения с арккосинусом необходимо, чтобы его аргумент принадлежал отрезку $[-1, 1]$. В нашем случае аргумент равен $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, что удовлетворяет этому условию. Следовательно, найденные действительные корни являются решениями.
Ответ: $x=1, x=\frac{3}{2}$.

б) (2) Решите неравенство $\arccos(x^2 - \frac{5}{2}x + 2) < \frac{\pi}{3}$

Область значений функции арккосинус - это отрезок $[0, \pi]$. Таким образом, данное неравенство равносильно двойному неравенству:
$0 \leq \arccos(x^2 - \frac{5}{2}x + 2) < \frac{\pi}{3}$
Функция $y = \arccos(t)$ является убывающей на всей своей области определения $[-1, 1]$. Поэтому при переходе от арккосинусов к их аргументам знаки неравенства меняются на противоположные:
$\cos(0) \geq x^2 - \frac{5}{2}x + 2 > \cos(\frac{\pi}{3})$
Подставим значения косинусов: $\cos(0) = 1$ и $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
$1 \geq x^2 - \frac{5}{2}x + 2 > \frac{1}{2}$
Это система из двух неравенств:
1) $x^2 - \frac{5}{2}x + 2 > \frac{1}{2}$
2) $x^2 - \frac{5}{2}x + 2 \leq 1$
Решим первое неравенство:
$x^2 - \frac{5}{2}x + \frac{3}{2} > 0$
$2x^2 - 5x + 3 > 0$
Корни соответствующего уравнения $2x^2 - 5x + 3 = 0$ мы нашли в пункте а): $x_1 = 1, x_2 = \frac{3}{2}$.
Так как ветви параболы $y = 2x^2 - 5x + 3$ направлены вверх, неравенство выполняется вне интервала между корнями: $x \in (-\infty, 1) \cup (\frac{3}{2}, +\infty)$.
Решим второе неравенство:
$x^2 - \frac{5}{2}x + 1 \leq 0$
$2x^2 - 5x + 2 \leq 0$
Найдем корни уравнения $2x^2 - 5x + 2 = 0$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$
$x_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{4}$, откуда $x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = 2$.
Ветви параболы $y = 2x^2 - 5x + 2$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in [\frac{1}{2}, 2]$.
Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:
$(-\infty, 1) \cup (\frac{3}{2}, +\infty) \cap [\frac{1}{2}, 2]$
Пересечение дает нам два интервала: $[\frac{1}{2}, 1)$ и $(\frac{3}{2}, 2]$.
Ответ: $x \in [\frac{1}{2}, 1) \cup (\frac{3}{2}, 2]$.

в) (3) Решите неравенство $\arccos(x^2 - \frac{5}{2}x + 2) > \frac{\pi}{3}$

Область значений функции арккосинус - это отрезок $[0, \pi]$. Таким образом, данное неравенство равносильно двойному неравенству:
$\frac{\pi}{3} < \arccos(x^2 - \frac{5}{2}x + 2) \leq \pi$
Функция $y = \arccos(t)$ является убывающей. Применяя функцию косинус к частям неравенства, мы меняем знаки на противоположные:
$\cos(\frac{\pi}{3}) > x^2 - \frac{5}{2}x + 2 \geq \cos(\pi)$
Подставим значения косинусов: $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\cos(\pi) = -1$.
$\frac{1}{2} > x^2 - \frac{5}{2}x + 2 \geq -1$
Это система из двух неравенств:
1) $x^2 - \frac{5}{2}x + 2 < \frac{1}{2}$
2) $x^2 - \frac{5}{2}x + 2 \geq -1$
Решим первое неравенство:
$x^2 - \frac{5}{2}x + \frac{3}{2} < 0$
$2x^2 - 5x + 3 < 0$
Корни уравнения $2x^2 - 5x + 3 = 0$ равны $x_1 = 1, x_2 = \frac{3}{2}$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in (1, \frac{3}{2})$.
Решим второе неравенство:
$x^2 - \frac{5}{2}x + 3 \geq 0$
$2x^2 - 5x + 6 \geq 0$
Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 25 - 48 = -23$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $2 > 0$, парабола $y = 2x^2 - 5x + 6$ целиком лежит выше оси Ох, и неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$.
Пересечением решений $x \in (1, \frac{3}{2})$ и $x \in (-\infty, +\infty)$ является интервал $(1, \frac{3}{2})$.
Ответ: $x \in (1, \frac{3}{2})$.