Номер 14, страница 116, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

14. (4) Докажите равенство

$\text{tg}\left(2\text{arccos}\frac{5}{\sqrt{26}} - \text{arcsin}\frac{12}{13}\right) = -\frac{119}{120}$

Для доказательства равенства преобразуем его левую часть. Обозначим $ \alpha = \arccos{\frac{5}{\sqrt{26}}} $ и $ \beta = \arcsin{\frac{12}{13}} $. Тогда выражение, стоящее под знаком тангенса, примет вид $ 2\alpha - \beta $. Нам нужно вычислить $ \tg(2\alpha - \beta) $.

Воспользуемся формулой тангенса разности углов: $ \tg(2\alpha - \beta) = \frac{\tg(2\alpha) - \tg(\beta)}{1 + \tg(2\alpha)\tg(\beta)} $. Для применения этой формулы нам необходимо найти значения $ \tg(\beta) $ и $ \tg(2\alpha) $.

Сначала найдем $ \tg(\alpha) $. Из определения арккосинуса имеем $ \cos(\alpha) = \frac{5}{\sqrt{26}} $, причем $ \alpha \in [0, \pi] $. Поскольку значение косинуса положительно, угол $ \alpha $ находится в первой четверти, то есть $ \alpha \in (0, \frac{\pi}{2}) $. Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $, найдем $ \sin(\alpha) $:
$ \sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{5}{\sqrt{26}}\right)^2 = 1 - \frac{25}{26} = \frac{1}{26} $.
Так как $ \alpha $ находится в первой четверти, $ \sin(\alpha) $ положителен, поэтому $ \sin(\alpha) = \sqrt{\frac{1}{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}} $.
Теперь можем найти $ \tg(\alpha) $: $ \tg(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{1/\sqrt{26}}{5/\sqrt{26}} = \frac{1}{5} $.

Далее найдем $ \tg(\beta) $. Из определения арксинуса имеем $ \sin(\beta) = \frac{12}{13} $, причем $ \beta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. Поскольку значение синуса положительно, угол $ \beta $ также находится в первой четверти, то есть $ \beta \in (0, \frac{\pi}{2}) $. Найдем $ \cos(\beta) $ из основного тригонометрического тождества:
$ \cos^2(\beta) = 1 - \sin^2(\beta) = 1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169} $.
Так как $ \beta $ находится в первой четверти, $ \cos(\beta) $ положителен, поэтому $ \cos(\beta) = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13} $.
Теперь можем найти $ \tg(\beta) $: $ \tg(\beta) = \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} = \frac{12/13}{5/13} = \frac{12}{5} $.

Теперь вычислим $ \tg(2\alpha) $, используя формулу тангенса двойного угла: $ \tg(2\alpha) = \frac{2\tg(\alpha)}{1 - \tg^2(\alpha)} $.
$ \tg(2\alpha) = \frac{2 \cdot \frac{1}{5}}{1 - (\frac{1}{5})^2} = \frac{\frac{2}{5}}{1 - \frac{1}{25}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{24}{25}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{25}{24} = \frac{50}{120} = \frac{5}{12} $.

Наконец, подставим найденные значения $ \tg(2\alpha) = \frac{5}{12} $ и $ \tg(\beta) = \frac{12}{5} $ в формулу для $ \tg(2\alpha - \beta) $:
$ \tg(2\alpha - \beta) = \frac{\tg(2\alpha) - \tg(\beta)}{1 + \tg(2\alpha)\tg(\beta)} = \frac{\frac{5}{12} - \frac{12}{5}}{1 + \frac{5}{12} \cdot \frac{12}{5}} = \frac{\frac{25 - 144}{60}}{1 + 1} = \frac{-\frac{119}{60}}{2} = -\frac{119}{120} $.

Таким образом, мы показали, что левая часть исходного равенства равна правой части: $ \tg\left(2\arccos\frac{5}{\sqrt{26}} - \arcsin\frac{12}{13}\right) = -\frac{119}{120} $. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.