Номер 7, страница 115, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Докажите равенство $\sin \left(2\operatorname{arctg}\frac{1}{2}\right) + \operatorname{tg}\left(\frac{1}{2}\arcsin \frac{15}{17}\right) = \frac{7}{5}$.

Для доказательства данного равенства необходимо вычислить значение выражения в левой части и сравнить его с правой частью. Вычислим каждое слагаемое по отдельности.

Вычисление первого слагаемого $ \sin(2\operatorname{arctg}\frac{1}{2}) $

Обозначим $ \alpha = \operatorname{arctg}\frac{1}{2} $. Из определения арктангенса следует, что $ \operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{2} $ и угол $ \alpha $ находится в интервале $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $. Поскольку $ \frac{1}{2} > 0 $, то $ \alpha \in (0, \frac{\pi}{2}) $.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла через тангенс: $ \sin(2\alpha) = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1+\operatorname{tg}^2\alpha} $.

Подставим известное значение $ \operatorname{tg}\alpha $:

$ \sin(2\alpha) = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 + (\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5} $.

Таким образом, первое слагаемое равно $ \frac{4}{5} $.

Вычисление второго слагаемого $ \operatorname{tg}(\frac{1}{2}\arcsin\frac{15}{17}) $

Обозначим $ \beta = \arcsin\frac{15}{17} $. Из определения арксинуса следует, что $ \sin\beta = \frac{15}{17} $ и угол $ \beta $ находится в интервале $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. Поскольку $ \frac{15}{17} > 0 $, то $ \beta \in (0, \frac{\pi}{2}] $.

Воспользуемся формулой тангенса половинного угла: $ \operatorname{tg}(\frac{\beta}{2}) = \frac{1-\cos\beta}{\sin\beta} $.

Для применения этой формулы нам необходимо найти $ \cos\beta $. Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\beta + \cos^2\beta = 1 $. Так как $ \beta $ находится в первой четверти, $ \cos\beta $ будет положительным.

$ \cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - (\frac{15}{17})^2} = \sqrt{1 - \frac{225}{289}} = \sqrt{\frac{289-225}{289}} = \sqrt{\frac{64}{289}} = \frac{8}{17} $.

Теперь можем вычислить тангенс половинного угла:

$ \operatorname{tg}(\frac{\beta}{2}) = \frac{1 - \frac{8}{17}}{\frac{15}{17}} = \frac{\frac{17-8}{17}}{\frac{15}{17}} = \frac{\frac{9}{17}}{\frac{15}{17}} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} $.

Таким образом, второе слагаемое равно $ \frac{3}{5} $.

Проверка равенства

Сложим полученные значения двух слагаемых:

$ \sin(2\operatorname{arctg}\frac{1}{2}) + \operatorname{tg}(\frac{1}{2}\arcsin\frac{15}{17}) = \frac{4}{5} + \frac{3}{5} = \frac{7}{5} $.

Полученное значение левой части $ \frac{7}{5} $ совпадает со значением в правой части исходного равенства.

Ответ: Равенство доказано.