Номер 3, страница 114, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

3. (3) а) Вычислите значение выражения $ \cos \left(2 \arccos \frac{1}{\sqrt{3}}\right) $.

б) Докажите, что если $ |a| \le 1 $, то $ \cos (2 \arccos a) = 2a^2 - 1 $.

в) Пользуясь формулой, доказанной в пункте

б) Определите $ \cos(2 \arccos(\sqrt{3}-\sqrt{2})) $.

а) Для вычисления данного выражения воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $cos(2x) = 2cos^2(x) - 1$.
Пусть $x = arccos\frac{1}{\sqrt{3}}$. Тогда по определению арккосинуса $cos(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Подставим это значение в формулу:
$cos(2arccos\frac{1}{\sqrt{3}}) = 2 \cdot (cos(arccos\frac{1}{\sqrt{3}}))^2 - 1 = 2 \cdot (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 - 1 = 2 \cdot \frac{1}{3} - 1 = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$.

б) Нам нужно доказать, что при $|a| \le 1$ выполняется равенство $cos(2arccos(a)) = 2a^2 - 1$.
Обозначим $\alpha = arccos(a)$. По определению арккосинуса, это означает, что $cos(\alpha) = a$ и угол $\alpha$ находится в диапазоне $0 \le \alpha \le \pi$. Условие $|a| \le 1$ является областью определения для функции арккосинуса.
Используем тригонометрическую формулу косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = 2cos^2(\alpha) - 1$.
Подставим в эту формулу $cos(\alpha) = a$:
$cos(2\alpha) = 2(a)^2 - 1 = 2a^2 - 1$.
Заменяя $\alpha$ обратно на $arccos(a)$, получаем требуемое тождество: $cos(2arccos(a)) = 2a^2 - 1$. Утверждение доказано.
Ответ: Утверждение доказано.

в) Для решения используем формулу, доказанную в пункте б): $cos(2arccos(a)) = 2a^2 - 1$.
В данном случае, $a = \sqrt{3} - \sqrt{2}$.
Сначала необходимо убедиться, что для этого значения $a$ выполняется условие $|a| \le 1$.
Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$ и $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $a = \sqrt{3} - \sqrt{2} > 0$.
Проверим, выполняется ли неравенство $a \le 1$:
$\sqrt{3} - \sqrt{2} \le 1$
$\sqrt{3} \le 1 + \sqrt{2}$
Так как обе части неравенства положительны, можно возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt{3})^2 \le (1 + \sqrt{2})^2$
$3 \le 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2$
$3 \le 1 + 2\sqrt{2} + 2$
$3 \le 3 + 2\sqrt{2}$
$0 \le 2\sqrt{2}$
Это неравенство верно, следовательно, условие $|a| \le 1$ выполняется, и мы можем применить формулу.
$cos(2arccos(\sqrt{3}-\sqrt{2})) = 2(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 - 1$.
Вычислим значение квадрата: $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3 - 2\sqrt{6} + 2 = 5 - 2\sqrt{6}$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$2(5 - 2\sqrt{6}) - 1 = 10 - 4\sqrt{6} - 1 = 9 - 4\sqrt{6}$.
Ответ: $9 - 4\sqrt{6}$.