Упр 2, страница 112, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Упражнение 2

Докажите теорему 2 по аналогии с доказательством теоремы 1.

ТЕОРЕМА 1.

Для любого числа $a \in [-1;1]$ выполняется равенство

$arcsin \, a + arccos \, a = \frac{\pi}{2}$

Доказательство. Рассмотрим сначала случай $a \in (0;1)$. Пусть $ABC$ – прямоугольный треугольник, $\angle B = 90^\circ$, $AB = a$, $AC = 1$. Тогда

$\sin C = \frac{AB}{AC} = \frac{a}{1} = a$, $\angle C = arcsin \, a$. Аналогично, $\angle A = arccos \, a$.

Следовательно, $arcsin \, a + arccos \, a = \angle A + \angle C = \pi - \angle B = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.

Пусть теперь $a \in (-1;0)$. Так как $a < 0$, то $-a > 0$, и для положительного числа $-a$ только что доказано, что $arcsin(-a) + arccos(-a) = \frac{\pi}{2}$.

С другой стороны, по формулам упражнения 1 имеем $arcsin(-a) + arccos(-a) = -arcsin \, a + \pi - arccos \, a = \pi - (arcsin \, a + arccos \, a)$.

Отсюда следует, что $\pi - (arcsin \, a + arccos \, a) = \frac{\pi}{2}$, то есть $arcsin \, a + arccos \, a = \frac{\pi}{2}$. Таким образом, теорема 1 доказана для всех значений $a \in (-1;0) \cup (0;1)$. Оставшиеся частные случаи $a = -1, 0, 1$ тривиальны. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 2.

Для любого числа $a$ выполняется равенство $arctg \, a + arcctg \, a = \frac{\pi}{2}$.

Докажем теорему 2, согласно которой для любого числа $a$ выполняется равенство $\operatorname{arctg} a + \operatorname{arcctg} a = \frac{\pi}{2}$. Доказательство будет построено по аналогии с доказательством теоремы 1, путем рассмотрения трех случаев.

1. Случай, когда $a > 0$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = \frac{\pi}{2}$). Пусть длины катетов этого треугольника равны $AC = 1$ и $BC = a$.

Исходя из определений тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике, мы можем записать:

$\operatorname{tg} A = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{1} = a$

$\operatorname{ctg} B = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{1} = a$

Так как по условию $a > 0$, углы $A$ и $B$ являются острыми. Это позволяет нам выразить их через обратные тригонометрические функции:

$\angle A = \operatorname{arctg} a$

$\angle B = \operatorname{arcctg} a$

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике всегда равна $\frac{\pi}{2}$, то есть $\angle A + \angle B = \frac{\pi}{2}$.

Подставив в это равенство полученные выражения для углов $A$ и $B$, мы приходим к доказываемому тождеству для случая $a > 0$:

$\operatorname{arctg} a + \operatorname{arcctg} a = \frac{\pi}{2}$

2. Случай, когда $a < 0$

Пусть $a$ — отрицательное число. В таком случае число $-a$ будет положительным ($-a > 0$). Для положительного числа $-a$ справедливость тождества уже была доказана в предыдущем пункте:

$\operatorname{arctg}(-a) + \operatorname{arcctg}(-a) = \frac{\pi}{2}$

Теперь воспользуемся известными формулами для обратных тригонометрических функций от отрицательного аргумента, которые аналогичны тем, что используются в доказательстве теоремы 1:

$\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg} a$

$\operatorname{arcctg}(-a) = \pi - \operatorname{arcctg} a$

Подставим эти соотношения в равенство для $-a$:

$(-\operatorname{arctg} a) + (\pi - \operatorname{arcctg} a) = \frac{\pi}{2}$

Преобразуем полученное выражение:

$\pi - (\operatorname{arctg} a + \operatorname{arcctg} a) = \frac{\pi}{2}$

Из этого уравнения выразим искомую сумму:

$\operatorname{arctg} a + \operatorname{arcctg} a = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$

Таким образом, тождество доказано и для случая $a < 0$.

3. Случай, когда $a = 0$

Этот частный случай является тривиальным и проверяется прямой подстановкой значений:

$\operatorname{arctg}(0) = 0$

$\operatorname{arcctg}(0) = \frac{\pi}{2}$

Складывая эти значения, получаем:

$\operatorname{arctg}(0) + \operatorname{arcctg}(0) = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$

Равенство выполняется.

Поскольку мы рассмотрели все возможные случаи ($a > 0$, $a < 0$ и $a = 0$), теорема доказана для любого действительного числа $a$.

Ответ: Теорема доказана.