Номер 10, страница 109, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

10. (3) Упростите следующие выражения:

а) $arccos(cos 0.9\pi)$, $arccos(cos 0.1\pi)$, $arccos(cos(-0.9\pi))$, $arccos(cos 2016.1\pi)$;

б) $arcsin\left(sin\frac{3\pi}{7}\right)$, $arcsin\left(sin\frac{4\pi}{7}\right)$, $arcsin\left(sin\left(-\frac{4\pi}{7}\right)\right)$, $arcsin\left(sin\left(-\frac{32\pi}{7}\right)\right)$;

в) $arctg\left(\text{tg}\frac{4\pi}{11}\right)$, $arctg\left(\text{tg}\left(-\frac{40\pi}{11}\right)\right)$, $arctg\left(\text{tg}\frac{40\pi}{11}\right)$, $arctg\left(\text{tg}\frac{73\pi}{11}\right)$;

г) $arcctg(ctg 1.2\pi)$, $arcctg(ctg(-1.2\pi))$, $arcctg(ctg(-2015.2\pi))$, $arcctg(ctg 777.7\pi)$.

а) Для упрощения выражений с арккосинусом используется его область значений $E(\arccos) = [0; \pi]$. Если аргумент косинуса $x$ находится в этом промежутке, то $\arccos(\cos x) = x$. В противном случае, необходимо найти такое $x'$, что $x' \in [0; \pi]$ и $\cos(x') = \cos(x)$. Для этого используются свойства четности $\cos(-x) = \cos(x)$ и периодичности $\cos(x+2k\pi) = \cos(x)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
1. $\arccos(\cos 0,9\pi)$. Так как $0,9\pi \in [0; \pi]$, то $\arccos(\cos 0,9\pi) = 0,9\pi$.
2. $\arccos(\cos 0,1\pi)$. Так как $0,1\pi \in [0; \pi]$, то $\arccos(\cos 0,1\pi) = 0,1\pi$.
3. $\arccos(\cos(-0,9\pi))$. Аргумент $-0,9\pi \notin [0; \pi]$. Используем свойство четности: $\cos(-0,9\pi) = \cos(0,9\pi)$. Так как $0,9\pi \in [0; \pi]$, получаем $\arccos(\cos(-0,9\pi)) = 0,9\pi$.
4. $\arccos(\cos 2016,1\pi)$. Аргумент $2016,1\pi \notin [0; \pi]$. Используем свойство периодичности: $\cos(2016,1\pi) = \cos(2016\pi + 0,1\pi) = \cos(0,1\pi)$. Так как $0,1\pi \in [0; \pi]$, получаем $\arccos(\cos 2016,1\pi) = 0,1\pi$.
Ответ: $0,9\pi; 0,1\pi; 0,9\pi; 0,1\pi.$

б) Для функции $y = \arcsin(x)$ область значений $E(\arcsin) = [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Если $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, то $\arcsin(\sin x) = x$. Иначе, ищем $x'$ из этого промежутка, для которого $\sin(x') = \sin(x)$, используя свойства $\sin(x) = \sin(\pi-x)$ и $\sin(x+2k\pi)=\sin(x)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
1. $\arcsin(\sin\frac{3\pi}{7})$. Так как $\frac{3\pi}{7} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, то $\arcsin(\sin\frac{3\pi}{7}) = \frac{3\pi}{7}$.
2. $\arcsin(\sin\frac{4\pi}{7})$. Аргумент $\frac{4\pi}{7} \notin [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Используем свойство $\sin(x) = \sin(\pi - x)$: $\sin(\frac{4\pi}{7}) = \sin(\pi - \frac{4\pi}{7}) = \sin(\frac{3\pi}{7})$. Так как $\frac{3\pi}{7} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, получаем $\arcsin(\sin\frac{4\pi}{7}) = \frac{3\pi}{7}$.
3. $\arcsin(\sin(-\frac{4\pi}{7}))$. Аргумент $-\frac{4\pi}{7} \notin [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Преобразуем выражение: $\sin(-\frac{4\pi}{7}) = -\sin(\frac{4\pi}{7}) = -\sin(\pi-\frac{4\pi}{7}) = -\sin(\frac{3\pi}{7}) = \sin(-\frac{3\pi}{7})$. Так как $-\frac{3\pi}{7} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, получаем $\arcsin(\sin(-\frac{4\pi}{7})) = -\frac{3\pi}{7}$.
4. $\arcsin(\sin\frac{32\pi}{7})$. Используем периодичность: $\sin(\frac{32\pi}{7}) = \sin(\frac{28\pi+4\pi}{7}) = \sin(4\pi + \frac{4\pi}{7}) = \sin(\frac{4\pi}{7})$. Как и во втором пункте, $\arcsin(\sin\frac{4\pi}{7}) = \frac{3\pi}{7}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{7}; \frac{3\pi}{7}; -\frac{3\pi}{7}; \frac{3\pi}{7}.$

в) Для функции $y = \operatorname{arctg}(x)$ область значений $E(\operatorname{arctg}) = (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Если $x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x) = x$. Иначе, используем периодичность тангенса $\operatorname{tg}(x+k\pi) = \operatorname{tg}(x)$, где $k \in \mathbb{Z}$, чтобы найти эквивалентный угол в нужном промежутке.
1. $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}\frac{4\pi}{11})$. Так как $\frac{4\pi}{11} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}\frac{4\pi}{11}) = \frac{4\pi}{11}$.
2. $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(-\frac{40\pi}{11}))$. Используем периодичность: $\operatorname{tg}(-\frac{40\pi}{11}) = \operatorname{tg}(-\frac{40\pi}{11} + 4\pi) = \operatorname{tg}(\frac{-40\pi+44\pi}{11}) = \operatorname{tg}(\frac{4\pi}{11})$. Так как $\frac{4\pi}{11} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, получаем $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(-\frac{40\pi}{11})) = \frac{4\pi}{11}$.
3. $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}\frac{40\pi}{11})$. Используем периодичность: $\operatorname{tg}(\frac{40\pi}{11}) = \operatorname{tg}(\frac{40\pi}{11} - 4\pi) = \operatorname{tg}(\frac{40\pi-44\pi}{11}) = \operatorname{tg}(-\frac{4\pi}{11})$. Так как $-\frac{4\pi}{11} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, получаем $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}\frac{40\pi}{11}) = -\frac{4\pi}{11}$.
4. $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}\frac{73\pi}{11})$. Используем периодичность: $\operatorname{tg}(\frac{73\pi}{11}) = \operatorname{tg}(\frac{73\pi}{11} - 7\pi) = \operatorname{tg}(\frac{73\pi-77\pi}{11}) = \operatorname{tg}(-\frac{4\pi}{11})$. Так как $-\frac{4\pi}{11} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, получаем $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}\frac{73\pi}{11}) = -\frac{4\pi}{11}$.
Ответ: $\frac{4\pi}{11}; \frac{4\pi}{11}; -\frac{4\pi}{11}; -\frac{4\pi}{11}.$

г) Для функции $y = \operatorname{arcctg}(x)$ область значений $E(\operatorname{arcctg}) = (0; \pi)$. Если $x \in (0; \pi)$, то $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} x) = x$. Иначе, используем периодичность котангенса $\operatorname{ctg}(x+k\pi) = \operatorname{ctg}(x)$, где $k \in \mathbb{Z}$, чтобы найти эквивалентный угол в нужном промежутке.
1. $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} 1,2\pi)$. Аргумент $1,2\pi \notin (0; \pi)$. Используем периодичность: $\operatorname{ctg}(1,2\pi) = \operatorname{ctg}(1,2\pi - \pi) = \operatorname{ctg}(0,2\pi)$. Так как $0,2\pi \in (0; \pi)$, получаем $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} 1,2\pi) = 0,2\pi$.
2. $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}(-1,2\pi))$. Аргумент $-1,2\pi \notin (0; \pi)$. Используем периодичность: $\operatorname{ctg}(-1,2\pi) = \operatorname{ctg}(-1,2\pi + 2\pi) = \operatorname{ctg}(0,8\pi)$. Так как $0,8\pi \in (0; \pi)$, получаем $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}(-1,2\pi)) = 0,8\pi$.
3. $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}(-2015,2\pi))$. Аргумент $-2015,2\pi \notin (0; \pi)$. Используем периодичность: $\operatorname{ctg}(-2015,2\pi) = \operatorname{ctg}(-2015,2\pi + 2016\pi) = \operatorname{ctg}(0,8\pi)$. Так как $0,8\pi \in (0; \pi)$, получаем $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}(-2015,2\pi)) = 0,8\pi$.
4. $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} 777,7\pi)$. Аргумент $777,7\pi \notin (0; \pi)$. Используем периодичность: $\operatorname{ctg}(777,7\pi) = \operatorname{ctg}(777,7\pi - 777\pi) = \operatorname{ctg}(0,7\pi)$. Так как $0,7\pi \in (0; \pi)$, получаем $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg} 777,7\pi) = 0,7\pi$.
Ответ: $0,2\pi; 0,8\pi; 0,8\pi; 0,7\pi.$