Номер 6, страница 108, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

6. (4) Упростите следующие выражения:

a) $\arccos(\cos2)$, $\arccos(\cos(-2));$

б) $\arccos(\cos1.3\pi)$, $\arccos(\cos4);$

в) $\arccos(\cos2.3\pi)$, $\arccos(\cos7).$

а)

Для упрощения выражений вида $arccos(cos(x))$ используется основное тождество $arccos(cos(x)) = x$. Это тождество справедливо только в том случае, если аргумент $x$ принадлежит области значений арккосинуса, то есть отрезку $[0, \pi]$. Если $x$ не принадлежит этому отрезку, необходимо найти такое значение $x'$, которое принадлежит отрезку $[0, \pi]$ и для которого выполняется равенство $cos(x) = cos(x')$. Для этого используются свойства четности функции косинус, $cos(-x) = cos(x)$, и ее периодичности, $cos(x) = cos(x + 2\pi k)$ для любого целого числа $k$.

Решение для $arccos(cos2)$:
Аргумент косинуса $x = 2$. Необходимо проверить, принадлежит ли это значение отрезку $[0, \pi]$. Используя приближенное значение $\pi \approx 3,14$, получаем $0 < 2 < \pi$. Так как $2 \in [0, \pi]$, то $arccos(cos2) = 2$.

Решение для $arccos(cos(-2))$:
Аргумент косинуса $x = -2$. Это значение не входит в отрезок $[0, \pi]$. Воспользуемся свойством четности косинуса: $cos(-2) = cos(2)$. Таким образом, выражение преобразуется к виду $arccos(cos(2))$. Как было показано выше, это выражение равно 2.

Ответ: $arccos(cos2) = 2$; $arccos(cos(-2)) = 2$.

б)

Решение для $arccos(cos(1.3\pi))$:
Аргумент косинуса $x = 1.3\pi$. Это значение не принадлежит отрезку $[0, \pi]$, поскольку $1.3\pi > \pi$. Необходимо найти эквивалентный угол в нужном диапазоне. Используем свойство $cos(x) = cos(2\pi - x)$.
$cos(1.3\pi) = cos(2\pi - 1.3\pi) = cos(0.7\pi)$.
Поскольку $0.7\pi \in [0, \pi]$, то $arccos(cos(1.3\pi)) = arccos(cos(0.7\pi)) = 0.7\pi$.

Решение для $arccos(cos4)$:
Аргумент косинуса $x = 4$. Так как $\pi \approx 3.14$, значение $4$ не принадлежит отрезку $[0, \pi]$. Найдем такое $x' \in [0, \pi]$, что $cos(x')=cos(4)$. Используем формулу $cos(x) = cos(2\pi k - x)$. При $k=1$ получаем $x' = 2\pi - 4$. Проверим, принадлежит ли это значение отрезку $[0, \pi]$: $2\pi - 4 \approx 2 \cdot 3.14 - 4 = 6.28 - 4 = 2.28$. Так как $0 < 2.28 < \pi$, значение $2\pi - 4$ подходит.
Следовательно, $arccos(cos4) = 2\pi - 4$.

Ответ: $arccos(cos(1.3\pi)) = 0.7\pi$; $arccos(cos4) = 2\pi - 4$.

в)

Решение для $arccos(cos(2.3\pi))$:
Аргумент косинуса $x = 2.3\pi$. Это значение не принадлежит отрезку $[0, \pi]$. Воспользуемся свойством периодичности косинуса, отняв период $2\pi$:
$cos(2.3\pi) = cos(2.3\pi - 2\pi) = cos(0.3\pi)$.
Поскольку $0.3\pi \in [0, \pi]$, то $arccos(cos(2.3\pi)) = arccos(cos(0.3\pi)) = 0.3\pi$.

Решение для $arccos(cos7)$:
Аргумент косинуса $x = 7$. Так как $2\pi \approx 6.28$, значение $7$ больше $2\pi$ и не принадлежит отрезку $[0, \pi]$. Воспользуемся периодичностью косинуса: $cos(7) = cos(7 - 2\pi)$.
Оценим значение $7 - 2\pi \approx 7 - 6.28 = 0.72$. Это значение принадлежит отрезку $[0, \pi]$.
Следовательно, $arccos(cos7) = 7 - 2\pi$.

Ответ: $arccos(cos(2.3\pi)) = 0.3\pi$; $arccos(cos7) = 7 - 2\pi$.