Номер 7, страница 108, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

7. (1) Используя элементарные преобразования P1-P8 (глава 1, $\S6$), постройте последовательно на одной координатной плоскости графики функций $f(x)=\arccos x$, $g(x)=\arccos2x$, $h(x)=\frac{1}{2}\arccos2x$, $u(x)=-\frac{1}{2}\arccos2x$, $v(x)=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\arccos2x$. Для каждой из функций определите область определения и множество значений.

$f(x) = \arccos x$
Это исходная функция, график которой является базовым для последующих построений.
Область определения: Аргумент функции арккосинус должен находиться в пределах от -1 до 1 включительно. Таким образом, область определения $D(f) = [-1, 1]$.
Множество значений: По определению, значения функции арккосинус лежат в отрезке от 0 до $\pi$. Таким образом, множество значений $E(f) = [0, \pi]$.
График функции — убывающая кривая, проходящая через ключевые точки $(-1, \pi)$, $(0, \frac{\pi}{2})$ и $(1, 0)$.
Ответ: Область определения $D(f) = [-1, 1]$, множество значений $E(f) = [0, \pi]$.

$g(x) = \arccos(2x)$
График функции $g(x)$ получается из графика $f(x) = \arccos x$ путем сжатия по горизонтали к оси Oy в 2 раза (преобразование вида $y=f(kx)$ при $k=2 > 1$).
Область определения: Аргумент функции $2x$ должен удовлетворять условию $-1 \le 2x \le 1$. Отсюда следует, что $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$. Таким образом, $D(g) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.
Множество значений: Горизонтальное сжатие не влияет на множество значений функции, поэтому $E(g) = [0, \pi]$.
Ключевые точки графика смещаются по оси Ox: $(-\frac{1}{2}, \pi)$, $(0, \frac{\pi}{2})$ и $(\frac{1}{2}, 0)$.
Ответ: Область определения $D(g) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$, множество значений $E(g) = [0, \pi]$.

$h(x) = \frac{1}{2}\arccos(2x)$
График функции $h(x)$ получается из графика $g(x) = \arccos(2x)$ путем сжатия по вертикали к оси Ox в 2 раза (преобразование вида $y=Ag(x)$ при $A=\frac{1}{2}$, где $0 < A < 1$).
Область определения: Вертикальное сжатие не изменяет область определения, поэтому $D(h) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.
Множество значений: Множество значений $[0, \pi]$ функции $g(x)$ сжимается в 2 раза. Каждое значение умножается на $\frac{1}{2}$, поэтому $E(h) = [0 \cdot \frac{1}{2}, \pi \cdot \frac{1}{2}] = [0, \frac{\pi}{2}]$.
Ключевые точки графика изменяют свои ординаты: $(-\frac{1}{2}, \frac{\pi}{2})$, $(0, \frac{\pi}{4})$ и $(\frac{1}{2}, 0)$.
Ответ: Область определения $D(h) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$, множество значений $E(h) = [0, \frac{\pi}{2}]$.

$u(x) = -\frac{1}{2}\arccos(2x)$
График функции $u(x)$ получается из графика $h(x) = \frac{1}{2}\arccos(2x)$ путем симметричного отражения относительно оси Ox (преобразование вида $y=-h(x)$).
Область определения: Отражение не изменяет область определения: $D(u) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.
Множество значений: Множество значений $[0, \frac{\pi}{2}]$ функции $h(x)$ отражается относительно нуля. Каждое значение умножается на -1, поэтому $E(u) = [-\frac{\pi}{2}, 0]$.
Ключевые точки графика отражаются относительно оси Ox: $(-\frac{1}{2}, -\frac{\pi}{2})$, $(0, -\frac{\pi}{4})$ и $(\frac{1}{2}, 0)$. Изначально убывающая функция становится возрастающей.
Ответ: Область определения $D(u) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$, множество значений $E(u) = [-\frac{\pi}{2}, 0]$.

$v(x) = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\arccos(2x)$
График функции $v(x)$ получается из графика $u(x) = -\frac{1}{2}\arccos(2x)$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси Oy вверх на $\frac{\pi}{2}$ (преобразование вида $y=u(x)+B$ при $B=\frac{\pi}{2} > 0$).
Область определения: Вертикальный сдвиг не изменяет область определения: $D(v) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.
Множество значений: Множество значений $[-\frac{\pi}{2}, 0]$ функции $u(x)$ сдвигается вверх на $\frac{\pi}{2}$. К каждому значению прибавляется $\frac{\pi}{2}$, поэтому $E(v) = [-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}, 0 + \frac{\pi}{2}] = [0, \frac{\pi}{2}]$.
Ключевые точки графика сдвигаются вверх: $(-\frac{1}{2}, 0)$, $(0, \frac{\pi}{4})$ и $(\frac{1}{2}, \frac{\pi}{2})$. Функция остается возрастающей.
Ответ: Область определения $D(v) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$, множество значений $E(v) = [0, \frac{\pi}{2}]$.