Номер 8, страница 109, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

8. (1) Упростите следующие выражения:

a) arccos $\frac{1}{2}$ , arccos $\left(-\frac{1}{2}\right)$ , arccos $\frac{1}{\sqrt{2}}$ , arccos $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$;

б) arcsin $\frac{\sqrt{15}+\sqrt{21}}{\sqrt{20}+\sqrt{28}}$ , arcsin $\left(\sqrt{3}\sin \frac{19\pi}{6}\right)$ , arcsin $\left(\frac{\cos 2014\pi}{2}\right)$ , arcsin $\left(\frac{2-3\sqrt{2}}{6-2\sqrt{2}}\right)$;

В) arctg $\left(\frac{1-\text{tg}^2 15^\circ}{2\text{tg}15^\circ}\right)$ , arctg $\left(\frac{2\sqrt{3}\text{ctg}\frac{\pi}{8}}{1-\text{ctg}^2\frac{\pi}{8}}\right)$;

Г) arcctg $\frac{3^{-2}\cdot\sqrt{3}}{27\cdot 3^{-1}}$ , arcctg $\frac{\text{arccos}(-1)}{-\pi\sqrt{3}}$.

а)

Для выражения $arccos(\frac{1}{2})$:

По определению арккосинуса, это угол из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$. Это табличное значение.

$arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

Для выражения $arccos(-\frac{1}{2})$:

Используем формулу $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$.

$arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

Для выражения $arccos(\frac{1}{\sqrt{2}})$:

Аргумент можно записать как $\frac{\sqrt{2}}{2}$. По определению, это угол из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$arccos(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

Для выражения $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})$:

Используем формулу $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$.

$arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.

б)

Для выражения $arcsin\frac{\sqrt{15}+\sqrt{21}}{\sqrt{20}+\sqrt{28}}$:

Упростим аргумент функции. Вынесем общие множители в числителе и знаменателе:

$\frac{\sqrt{15}+\sqrt{21}}{\sqrt{20}+\sqrt{28}} = \frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}+\sqrt{3}\cdot\sqrt{7}}{\sqrt{4}\cdot\sqrt{5}+\sqrt{4}\cdot\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+\sqrt{7})}{2(\sqrt{5}+\sqrt{7})} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь вычислим $arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$. Это угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

Для выражения $arcsin(\sqrt{3}sin\frac{19\pi}{6})$:

Сначала упростим $sin\frac{19\pi}{6}$.

$\frac{19\pi}{6} = \frac{18\pi+\pi}{6} = 3\pi + \frac{\pi}{6}$.

$sin(\frac{19\pi}{6}) = sin(3\pi + \frac{\pi}{6}) = sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.

Подставим это значение в исходное выражение: $arcsin(\sqrt{3} \cdot (-\frac{1}{2})) = arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Используя свойство $arcsin(-x) = -arcsin(x)$, получаем: $-arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{3}$.

Для выражения $arcsin(\frac{cos2014\pi}{2})$:

Так как $2014$ - четное число, $cos(2014\pi) = cos(2k\pi) = 1$, где $k=1007$.

Выражение становится $arcsin(\frac{1}{2})$.

$arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

Для выражения $arcsin(\frac{2-3\sqrt{2}}{6-2\sqrt{2}})$:

Упростим дробь, домножив числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(6+2\sqrt{2})$:

$\frac{(2-3\sqrt{2})(6+2\sqrt{2})}{(6-2\sqrt{2})(6+2\sqrt{2})} = \frac{12+4\sqrt{2}-18\sqrt{2}-6\cdot2}{6^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{12-14\sqrt{2}-12}{36-8} = \frac{-14\sqrt{2}}{28} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Выражение равно $arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})$.

$arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{4}$.

в)

Для выражения $arctg(\frac{1-tg^215^\circ}{2tg15^\circ})$:

Аргумент арктангенса напоминает формулу тангенса двойного угла: $tg(2\alpha) = \frac{2tg\alpha}{1-tg^2\alpha}$.

$\frac{1-tg^215^\circ}{2tg15^\circ} = \frac{1}{ \frac{2tg15^\circ}{1-tg^215^\circ} } = \frac{1}{tg(2 \cdot 15^\circ)} = \frac{1}{tg(30^\circ)} = ctg(30^\circ) = \sqrt{3}$.

Таким образом, $arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

Для выражения $arctg(\frac{2\sqrt{3}ctg\frac{\pi}{8}}{1-ctg^2\frac{\pi}{8}})$:

Выразим котангенс через тангенс: $ctg\alpha = \frac{1}{tg\alpha}$.

$\frac{2\sqrt{3}ctg\frac{\pi}{8}}{1-ctg^2\frac{\pi}{8}} = \frac{2\sqrt{3}\frac{1}{tg\frac{\pi}{8}}}{1-\frac{1}{tg^2\frac{\pi}{8}}} = \frac{\frac{2\sqrt{3}}{tg\frac{\pi}{8}}}{\frac{tg^2\frac{\pi}{8}-1}{tg^2\frac{\pi}{8}}} = \frac{2\sqrt{3}}{tg\frac{\pi}{8}} \cdot \frac{tg^2\frac{\pi}{8}}{tg^2\frac{\pi}{8}-1} = \frac{2\sqrt{3}tg\frac{\pi}{8}}{tg^2\frac{\pi}{8}-1}$.

Вынесем минус из знаменателя: $-\sqrt{3} \frac{2tg\frac{\pi}{8}}{1-tg^2\frac{\pi}{8}} = -\sqrt{3} \cdot tg(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = -\sqrt{3} \cdot tg(\frac{\pi}{4}) = -\sqrt{3} \cdot 1 = -\sqrt{3}$.

Выражение равно $arctg(-\sqrt{3})$.

$arctg(-\sqrt{3}) = -arctg(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{3}$.

г)

Для выражения $arcctg\frac{3^{-2}\cdot\sqrt{3}}{27\cdot3^{-4}}$:

(Примечание: в условии задачи символ между $3^{-2}$ и $\sqrt{3}$ неоднозначен. Решение приведено для знака умножения, так как в этом случае получается стандартный ответ).

Упростим аргумент арккотангенса. Сначала числитель: $3^{-2}\cdot\sqrt{3} = \frac{1}{9}\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{9}$.

Теперь знаменатель: $27\cdot3^{-4} = 3^3\cdot3^{-4} = 3^{3-4} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Теперь вся дробь: $\frac{\frac{\sqrt{3}}{9}}{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9} \cdot 3 = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Выражение равно $arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3})$. Это угол из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$ (или $\frac{1}{\sqrt{3}}$).

$arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

Для выражения $arcctg\frac{arccos(-1)}{-\pi\sqrt{3}}$:

Сначала вычислим числитель дроби в аргументе: $arccos(-1) = \pi$.

Подставим это значение: $arcctg(\frac{\pi}{-\pi\sqrt{3}}) = arcctg(-\frac{1}{\sqrt{3}})$.

Используем свойство $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$.

$arcctg(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = \pi - arcctg(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.