Номер 12, страница 110, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

12. (4) Упростите следующие выражения:

a) $ \text{arcctg}(\text{ctg}3), \text{arcctg}(\text{ctg}(-3)) $;

б) $ \text{arcctg}(\text{ctg}1,3\pi), \text{arcctg}(\text{ctg}4) $;

в) $ \text{arcctg}(\text{ctg}2,3\pi), \text{arcctg}(\text{ctg}7) $.

а)

Для выражения $arcctg(ctg(3))$: Область значений функции арккотангенс — это интервал $(0, \pi)$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $0 < 3 < \pi$. Следовательно, $arcctg(ctg(3)) = 3$.

Для выражения $arcctg(ctg(-3))$: Аргумент $-3$ не принадлежит интервалу $(0, \pi)$. Используя периодичность котангенса ($ctg(x) = ctg(x+k\pi)$ для целого $k$), найдем такое целое $k$, чтобы $0 < -3 + k\pi < \pi$. Решая неравенство, получаем $3 < k\pi < \pi+3$, что равносильно $3/\pi < k < 1+3/\pi$. Учитывая, что $\pi \approx 3.14$, имеем $0.955... < k < 1.955...$. Единственное целое $k$ в этом промежутке — это $k=1$. Таким образом, $arcctg(ctg(-3)) = -3 + 1 \cdot \pi = \pi - 3$.

Ответ: $3$ и $\pi - 3$.

б)

Для выражения $arcctg(ctg(1.3\pi))$: Аргумент $1.3\pi$ не принадлежит интервалу $(0, \pi)$. Найдем такое целое $k$, чтобы $0 < 1.3\pi + k\pi < \pi$. Разделив неравенство на $\pi$, получим $0 < 1.3 + k < 1$, откуда $-1.3 < k < -0.3$. Единственное целое $k$ в этом промежутке — это $k=-1$. Следовательно, $arcctg(ctg(1.3\pi)) = 1.3\pi - \pi = 0.3\pi$.

Для выражения $arcctg(ctg(4))$: Аргумент $4$ не принадлежит интервалу $(0, \pi)$, так как $4 > \pi \approx 3.14$. Найдем такое целое $k$, чтобы $0 < 4 + k\pi < \pi$. Решая неравенство, получаем $-4 < k\pi < \pi - 4$, что равносильно $-4/\pi < k < 1 - 4/\pi$. Учитывая, что $\pi \approx 3.14$, имеем $-1.27... < k < -0.27...$. Единственное целое $k$ — это $k=-1$. Следовательно, $arcctg(ctg(4)) = 4 - \pi$.

Ответ: $0.3\pi$ и $4 - \pi$.

в)

Для выражения $arcctg(ctg(2.3\pi))$: Аргумент $2.3\pi$ не принадлежит интервалу $(0, \pi)$. Найдем такое целое $k$, чтобы $0 < 2.3\pi + k\pi < \pi$. Разделив неравенство на $\pi$, получим $0 < 2.3 + k < 1$, откуда $-2.3 < k < -1.3$. Единственное целое $k$ в этом промежутке — это $k=-2$. Следовательно, $arcctg(ctg(2.3\pi)) = 2.3\pi - 2\pi = 0.3\pi$.

Для выражения $arcctg(ctg(7))$: Аргумент $7$ не принадлежит интервалу $(0, \pi)$, так как $7 > 2\pi \approx 6.28$. Найдем такое целое $k$, чтобы $0 < 7 + k\pi < \pi$. Решая неравенство, получаем $-7 < k\pi < \pi - 7$, что равносильно $-7/\pi < k < 1 - 7/\pi$. Учитывая, что $\pi \approx 3.14$, имеем $-2.23... < k < -1.23...$. Единственное целое $k$ — это $k=-2$. Следовательно, $arcctg(ctg(7)) = 7 - 2\pi$.

Ответ: $0.3\pi$ и $7 - 2\pi$.