Номер 4, страница 114, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

4. (3) а) Вычислите значение выражения $\sin \left(2 \arccos \left(\frac{1}{3}\right)\right)$.

б) Докажите, что если $|a| \leq 1$, то $\sin (2 \arccos a)=2 a \sqrt{1-a^{2}}$.

в) Пользуясь формулой, доказанной в пункте б), определите $\sin \left(2 \arccos \frac{21}{29}\right)$.

а) Чтобы вычислить значение выражения $\sin\left(2\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\right)$, введем обозначение. Пусть $\alpha = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.

Согласно определению арккосинуса, это означает, что $\cos(\alpha) = \frac{1}{3}$ и угол $\alpha$ находится в промежутке $0 \le \alpha \le \pi$.

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$.

Нам известен $\cos(\alpha)$, нужно найти $\sin(\alpha)$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

Отсюда $\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.

Поскольку $0 \le \alpha \le \pi$, синус в этом диапазоне неотрицателен ($\sin(\alpha) \ge 0$). Следовательно, $\sin(\alpha) = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Теперь подставим значения $\sin(\alpha)$ и $\cos(\alpha)$ в формулу двойного угла:

$\sin(2\alpha) = 2 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{9}$.

Ответ: $\frac{4\sqrt{2}}{9}$

б) Чтобы доказать тождество $\sin(2\arccos a) = 2a\sqrt{1-a^2}$ при $|a| \le 1$, обозначим $\alpha = \arccos(a)$.

По определению арккосинуса, $\cos(\alpha) = a$ и $0 \le \alpha \le \pi$.

Левая часть тождества преобразуется с использованием формулы синуса двойного угла:

$\sin(2\arccos a) = \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$.

Мы знаем, что $\cos(\alpha) = a$. Найдем $\sin(\alpha)$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

$\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha) = 1 - a^2$.

Так как $0 \le \alpha \le \pi$, то $\sin(\alpha) \ge 0$, поэтому мы берем положительное значение корня: $\sin(\alpha) = \sqrt{1-a^2}$.

Подставим выражения для $\sin(\alpha)$ и $\cos(\alpha)$ обратно в формулу двойного угла:

$\sin(2\alpha) = 2 \cdot \sqrt{1-a^2} \cdot a = 2a\sqrt{1-a^2}$.

Таким образом, мы доказали, что $\sin(2\arccos a) = 2a\sqrt{1-a^2}$.

Ответ: тождество доказано.

в) Чтобы определить значение выражения $\sin\left(2\arccos\frac{21}{29}\right)$, воспользуемся формулой, доказанной в пункте б):

$\sin(2\arccos a) = 2a\sqrt{1-a^2}$.

В нашем случае $a = \frac{21}{29}$. Подставим это значение в формулу:

$\sin\left(2\arccos\frac{21}{29}\right) = 2 \cdot \frac{21}{29} \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{21}{29}\right)^2}$.

Вычислим значение выражения под корнем:

$1 - \left(\frac{21}{29}\right)^2 = 1 - \frac{21^2}{29^2} = 1 - \frac{441}{841} = \frac{841 - 441}{841} = \frac{400}{841}$.

Теперь извлечем квадратный корень:

$\sqrt{\frac{400}{841}} = \frac{\sqrt{400}}{\sqrt{841}} = \frac{20}{29}$.

Подставим найденное значение обратно в основное выражение:

$2 \cdot \frac{21}{29} \cdot \frac{20}{29} = \frac{2 \cdot 21 \cdot 20}{29^2} = \frac{42 \cdot 20}{841} = \frac{840}{841}$.

Ответ: $\frac{840}{841}$