Номер 8, страница 115, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

8. (5) Упростите следующие выражения:

a) $arcsin(cos0.3\pi)$, $arccos(sin0.2\pi)$, $arccos(sin1.8\pi)$; $arcsin(cos4)$;

б) $arcctg(tg1.8\pi)$, $arcctg(ctg1.8\pi)$, $arcctg(tg3)$, $arcctg(ctg7)$.

а)

Решение для $arcsin(cos(0.3\pi))$:
Используем формулу приведения $cos(\alpha) = sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$arcsin(cos(0.3\pi)) = arcsin(sin(\frac{\pi}{2} - 0.3\pi)) = arcsin(sin(0.5\pi - 0.3\pi)) = arcsin(sin(0.2\pi))$.
Область значений функции $arcsin(y)$ — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Так как $0.2\pi$ принадлежит этому отрезку ($-\frac{\pi}{2} \le 0.2\pi \le \frac{\pi}{2}$), то по определению арксинуса $arcsin(sin(0.2\pi)) = 0.2\pi$.
Ответ: $0.2\pi$.

Решение для $arccos(sin(0.2\pi))$:
Используем формулу приведения $sin(\alpha) = cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$arccos(sin(0.2\pi)) = arccos(cos(\frac{\pi}{2} - 0.2\pi)) = arccos(cos(0.3\pi))$.
Область значений функции $arccos(y)$ — это отрезок $[0, \pi]$.
Так как $0.3\pi$ принадлежит этому отрезку ($0 \le 0.3\pi \le \pi$), то по определению арккосинуса $arccos(cos(0.3\pi)) = 0.3\pi$.
Ответ: $0.3\pi$.

Решение для $arccos(sin(1.8\pi))$:
Используем периодичность синуса $sin(1.8\pi) = sin(1.8\pi - 2\pi) = sin(-0.2\pi) = -sin(0.2\pi)$.
Получаем $arccos(-sin(0.2\pi))$.
Используем свойство арккосинуса $arccos(-y) = \pi - arccos(y)$.
$\pi - arccos(sin(0.2\pi))$.
Из предыдущего примера мы знаем, что $arccos(sin(0.2\pi)) = 0.3\pi$.
Следовательно, выражение равно $\pi - 0.3\pi = 0.7\pi$.
Ответ: $0.7\pi$.

Решение для $arcsin(cos(4))$:
Используем формулу приведения $cos(\alpha) = sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$arcsin(cos(4)) = arcsin(sin(\frac{\pi}{2} - 4))$.
Пусть $x = \frac{\pi}{2} - 4$. Область значений арксинуса — $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Оценим $x$: $x \approx 1.57 - 4 = -2.43$. Это значение не входит в область значений арксинуса.
Нам нужно найти такое число $y$, что $sin(y) = sin(x)$ и $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$.
Известно, что $sin(y) = sin(\alpha)$ если $y = \alpha + 2k\pi$ или $y = \pi - \alpha + 2k\pi$ для целого $k$.
Проверим второй случай: $y = \pi - (\frac{\pi}{2} - 4) + 2k\pi = \frac{\pi}{2} + 4 + 2k\pi$.
При $k=-1$, $y = \frac{\pi}{2} + 4 - 2\pi = 4 - \frac{3\pi}{2}$.
Оценим это значение: $4 - \frac{3 \cdot 3.14159}{2} \approx 4 - 4.712 = -0.712$.
Так как $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$, то $-1.57 \le -0.712 \le 1.57$. Значение $4 - \frac{3\pi}{2}$ входит в область значений арксинуса.
Ответ: $4 - \frac{3\pi}{2}$.

б)

Решение для $arcctg(tg(1.8\pi))$:
Используем формулу приведения $tg(\alpha) = ctg(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$arcctg(tg(1.8\pi)) = arcctg(ctg(\frac{\pi}{2} - 1.8\pi)) = arcctg(ctg(-1.3\pi))$.
Область значений арккотангенса — интервал $(0, \pi)$. Значение $-1.3\pi$ не входит в этот интервал.
Используем периодичность котангенса (период $T=\pi$): $ctg(-1.3\pi) = ctg(-1.3\pi + 2\pi) = ctg(0.7\pi)$.
Так как $0 < 0.7\pi < \pi$, то $arcctg(ctg(0.7\pi)) = 0.7\pi$.
Ответ: $0.7\pi$.

Решение для $arctg(ctg(1.8\pi))$:
Используем формулу приведения $ctg(\alpha) = tg(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$arctg(ctg(1.8\pi)) = arctg(tg(\frac{\pi}{2} - 1.8\pi)) = arctg(tg(-1.3\pi))$.
Область значений арктангенса — интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Значение $-1.3\pi$ не входит в этот интервал.
Используем периодичность тангенса (период $T=\pi$): $tg(-1.3\pi) = tg(-1.3\pi + \pi) = tg(-0.3\pi)$.
Так как $-\frac{\pi}{2} < -0.3\pi < \frac{\pi}{2}$, то $arctg(tg(-0.3\pi)) = -0.3\pi$.
Ответ: $-0.3\pi$.

Решение для $arcctg(tg(3))$:
$arcctg(tg(3)) = arcctg(ctg(\frac{\pi}{2} - 3))$.
Область значений арккотангенса — $(0, \pi)$.
Аргумент котангенса $\frac{\pi}{2} - 3 \approx 1.57 - 3 = -1.43$ не принадлежит этому интервалу.
Используем периодичность котангенса: $ctg(\frac{\pi}{2} - 3) = ctg(\frac{\pi}{2} - 3 + \pi) = ctg(\frac{3\pi}{2} - 3)$.
Новый аргумент $\frac{3\pi}{2} - 3 \approx 4.71 - 3 = 1.71$.
Так как $0 < 1.71 < \pi \approx 3.14$, то значение $ \frac{3\pi}{2} - 3 $ находится в области значений арккотангенса.
Ответ: $\frac{3\pi}{2} - 3$.

Решение для $arctg(ctg(7))$:
$arctg(ctg(7)) = arctg(tg(\frac{\pi}{2} - 7))$.
Область значений арктангенса — $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Аргумент тангенса $\frac{\pi}{2} - 7 \approx 1.57 - 7 = -5.43$ не принадлежит этому интервалу.
Используем периодичность тангенса: $tg(\alpha) = tg(\alpha + k\pi)$.
При $k=1$: $\frac{\pi}{2} - 7 + \pi = \frac{3\pi}{2} - 7 \approx 4.71 - 7 = -2.29$, что не входит в $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
При $k=2$: $\frac{\pi}{2} - 7 + 2\pi = \frac{5\pi}{2} - 7 \approx 7.85 - 7 = 0.85$, что входит в $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \approx (-1.57, 1.57)$.
Следовательно, итоговое значение равно $\frac{5\pi}{2} - 7$.
Ответ: $\frac{5\pi}{2} - 7$.