Номер 10, страница 115, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

10. (3) Вычислите значения следующих выражений:

а)

$\cos(\frac{\pi}{6} + \arcsin(-\frac{2}{3}))$, $\cos(\arcsin(-\frac{2}{3}) - \arccos\frac{5}{13})$,

$\cos(\operatorname{arctg}(-2)+\operatorname{arcctg}5)$;

б)

$\sin(\frac{\pi}{3} - \arccos\frac{5}{13})$, $\sin(\arcsin(-\frac{2}{3}) - \arccos\frac{5}{13})$,

$\sin(\arccos\frac{3}{4}+\operatorname{arctg}(-2))$;

в)

$\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4} + \operatorname{arcctg}5)$, $\operatorname{ctg}(\operatorname{arcctg}5-\operatorname{arctg}3)$, $\operatorname{ctg}(\operatorname{arctg}(-2)+\arcsin\frac{1}{3})$.

а)

1. Вычислим значение выражения $cos(\frac{\pi}{6} + \arcsin(-\frac{2}{3}))$.
Воспользуемся формулой косинуса суммы: $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$.
Пусть $\alpha = \frac{\pi}{6}$ и $\beta = \arcsin(-\frac{2}{3})$. Тогда $sin(\beta) = -\frac{2}{3}$.
Так как область значений арксинуса $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, а $sin(\beta) < 0$, то $\beta$ находится в IV четверти, где $cos(\beta) \ge 0$.
Найдем $cos(\beta)$ из основного тригонометрического тождества: $cos^2(\beta) = 1 - sin^2(\beta) = 1 - (-\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.
Следовательно, $cos(\beta) = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
Известно, что $cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Подставляем значения в формулу:
$cos(\frac{\pi}{6} + \arcsin(-\frac{2}{3})) = cos(\frac{\pi}{6})cos(\beta) - sin(\frac{\pi}{6})sin(\beta) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{1}{2} \cdot (-\frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{15}}{6} + \frac{2}{6} = \frac{\sqrt{15}+2}{6}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{15}+2}{6}$.

2. Вычислим значение выражения $cos(\arcsin(-\frac{2}{3}) - \arccos(\frac{5}{13}))$.
Воспользуемся формулой косинуса разности: $cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$.
Пусть $\alpha = \arcsin(-\frac{2}{3})$ и $\beta = \arccos(\frac{5}{13})$.
Из предыдущего вычисления мы знаем, что $sin(\alpha) = -\frac{2}{3}$ и $cos(\alpha) = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
Для $\beta = \arccos(\frac{5}{13})$ имеем $cos(\beta) = \frac{5}{13}$.
Так как область значений арккосинуса $[0, \pi]$, а $cos(\beta) > 0$, то $\beta$ находится в I четверти, где $sin(\beta) \ge 0$.
$sin^2(\beta) = 1 - cos^2(\beta) = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$.
Следовательно, $sin(\beta) = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.
Подставляем значения в формулу:
$cos(\alpha - \beta) = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{5}{13} + (-\frac{2}{3}) \cdot \frac{12}{13} = \frac{5\sqrt{5}}{39} - \frac{24}{39} = \frac{5\sqrt{5}-24}{39}$.

Ответ: $\frac{5\sqrt{5}-24}{39}$.

3. Вычислим значение выражения $cos(\arctg(-2) + \arcctg(5))$.
Воспользуемся формулой косинуса суммы: $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$.
Пусть $\alpha = \arctg(-2)$ и $\beta = \arcctg(5)$.
Для $\alpha = \arctg(-2)$ имеем $tg(\alpha) = -2$. Так как $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, то $\alpha$ в IV четверти ($cos(\alpha)>0, sin(\alpha)<0$).
Из $1 + tg^2(\alpha) = \frac{1}{cos^2(\alpha)}$ находим $cos^2(\alpha) = \frac{1}{1+(-2)^2} = \frac{1}{5}$, значит $cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
$sin(\alpha) = tg(\alpha)cos(\alpha) = -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{2}{\sqrt{5}}$.
Для $\beta = \arcctg(5)$ имеем $ctg(\beta) = 5$. Так как $\beta \in (0, \pi)$, то $\beta$ в I четверти ($cos(\beta)>0, sin(\beta)>0$).
Из $1 + ctg^2(\beta) = \frac{1}{sin^2(\beta)}$ находим $sin^2(\beta) = \frac{1}{1+5^2} = \frac{1}{26}$, значит $sin(\beta) = \frac{1}{\sqrt{26}}$.
$cos(\beta) = ctg(\beta)sin(\beta) = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}}$.
Подставляем значения в формулу:
$cos(\alpha + \beta) = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{5}{\sqrt{26}} - (-\frac{2}{\sqrt{5}}) \cdot \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{5}{\sqrt{130}} + \frac{2}{\sqrt{130}} = \frac{7}{\sqrt{130}} = \frac{7\sqrt{130}}{130}$.

Ответ: $\frac{7\sqrt{130}}{130}$.

б)

1. Вычислим значение выражения $sin(\frac{\pi}{3} - \arccos(\frac{5}{13}))$.
Воспользуемся формулой синуса разности: $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$.
Пусть $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\beta = \arccos(\frac{5}{13})$.
Имеем $sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, $cos(\beta) = \frac{5}{13}$ и $sin(\beta) = \frac{12}{13}$ (из пункта а).
Подставляем значения в формулу:
$sin(\frac{\pi}{3} - \beta) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5}{13} - \frac{1}{2} \cdot \frac{12}{13} = \frac{5\sqrt{3}}{26} - \frac{12}{26} = \frac{5\sqrt{3}-12}{26}$.

Ответ: $\frac{5\sqrt{3}-12}{26}$.

2. Вычислим значение выражения $sin(\arcsin(-\frac{2}{3}) - \arccos(\frac{5}{13}))$.
Воспользуемся формулой синуса разности: $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$.
Пусть $\alpha = \arcsin(-\frac{2}{3})$ и $\beta = \arccos(\frac{5}{13})$.
Из пункта а) мы знаем: $sin(\alpha) = -\frac{2}{3}$, $cos(\alpha) = \frac{\sqrt{5}}{3}$, $cos(\beta) = \frac{5}{13}$, $sin(\beta) = \frac{12}{13}$.
Подставляем значения в формулу:
$sin(\alpha - \beta) = (-\frac{2}{3}) \cdot \frac{5}{13} - \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{12}{13} = -\frac{10}{39} - \frac{12\sqrt{5}}{39} = -\frac{10+12\sqrt{5}}{39}$.

Ответ: $-\frac{10+12\sqrt{5}}{39}$.

3. Вычислим значение выражения $sin(\arccos(\frac{3}{4}) + \arctg(-2))$.
Воспользуемся формулой синуса суммы: $sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$.
Пусть $\alpha = \arccos(\frac{3}{4})$ и $\beta = \arctg(-2)$.
Для $\alpha = \arccos(\frac{3}{4})$ имеем $cos(\alpha) = \frac{3}{4}$. $\alpha$ в I четверти, $sin(\alpha) > 0$.
$sin^2(\alpha) = 1 - cos^2(\alpha) = 1 - (\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$, следовательно $sin(\alpha) = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
Для $\beta = \arctg(-2)$ из пункта а) мы знаем: $cos(\beta) = \frac{1}{\sqrt{5}}$ и $sin(\beta) = -\frac{2}{\sqrt{5}}$.
Подставляем значения в формулу:
$sin(\alpha + \beta) = \frac{\sqrt{7}}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{3}{4} \cdot (-\frac{2}{\sqrt{5}}) = \frac{\sqrt{7}}{4\sqrt{5}} - \frac{6}{4\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7}-6}{4\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{7}-6)\sqrt{5}}{20} = \frac{\sqrt{35}-6\sqrt{5}}{20}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{35}-6\sqrt{5}}{20}$.

в)

1. Вычислим значение выражения $ctg(\frac{\pi}{4} + \arcctg(5))$.
Воспользуемся формулой котангенса суммы: $ctg(\alpha + \beta) = \frac{ctg(\alpha)ctg(\beta)-1}{ctg(\alpha)+ctg(\beta)}$.
Пусть $\alpha = \frac{\pi}{4}$ и $\beta = \arcctg(5)$.
Имеем $ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $ctg(\beta) = ctg(\arcctg(5)) = 5$.
Подставляем значения в формулу:
$ctg(\frac{\pi}{4} + \arcctg(5)) = \frac{1 \cdot 5 - 1}{1+5} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

2. Вычислим значение выражения $ctg(\arcctg(5) - \arctg(3))$.
Воспользуемся формулой котангенса разности: $ctg(\alpha - \beta) = \frac{ctg(\alpha)ctg(\beta)+1}{ctg(\beta)-ctg(\alpha)}$.
Пусть $\alpha = \arcctg(5)$ и $\beta = \arctg(3)$.
Имеем $ctg(\alpha) = 5$. Для $\beta = \arctg(3)$ имеем $tg(\beta)=3$, откуда $ctg(\beta) = \frac{1}{tg(\beta)} = \frac{1}{3}$.
Подставляем значения в формулу:
$ctg(\arcctg(5) - \arctg(3)) = \frac{5 \cdot \frac{1}{3} + 1}{\frac{1}{3} - 5} = \frac{\frac{5}{3}+\frac{3}{3}}{\frac{1-15}{3}} = \frac{\frac{8}{3}}{-\frac{14}{3}} = -\frac{8}{14} = -\frac{4}{7}$.

Ответ: $-\frac{4}{7}$.

3. Вычислим значение выражения $ctg(\arctg(-2) + \arcsin(\frac{1}{3}))$.
Воспользуемся формулой $ctg(\alpha+\beta) = \frac{cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)}{sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)}$.
Пусть $\alpha = \arctg(-2)$ и $\beta = \arcsin(\frac{1}{3})$.
Для $\alpha = \arctg(-2)$, как было найдено ранее, $sin(\alpha) = -\frac{2}{\sqrt{5}}$ и $cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
Для $\beta = \arcsin(\frac{1}{3})$ имеем $sin(\beta) = \frac{1}{3}$. $\beta$ находится в I четверти, $cos(\beta) > 0$.
$cos^2(\beta) = 1 - sin^2(\beta) = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$, следовательно $cos(\beta) = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
Вычислим числитель и знаменатель дроби для котангенса:
$cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta) = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} - (-\frac{2}{\sqrt{5}}) \cdot \frac{1}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{5}} + \frac{2}{3\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{2}+2}{3\sqrt{5}}$.
$sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta) = (-\frac{2}{\sqrt{5}}) \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{5}} + \frac{1}{3\sqrt{5}} = \frac{1-4\sqrt{2}}{3\sqrt{5}}$.
Тогда $ctg(\alpha+\beta) = \frac{(2\sqrt{2}+2)/(3\sqrt{5})}{(1-4\sqrt{2})/(3\sqrt{5})} = \frac{2\sqrt{2}+2}{1-4\sqrt{2}}$.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(1+4\sqrt{2})$:
$\frac{(2\sqrt{2}+2)(1+4\sqrt{2})}{(1-4\sqrt{2})(1+4\sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{2}+16+2+8\sqrt{2}}{1 - (4\sqrt{2})^2} = \frac{18+10\sqrt{2}}{1-32} = \frac{18+10\sqrt{2}}{-31} = -\frac{18+10\sqrt{2}}{31}$.

Ответ: $-\frac{18+10\sqrt{2}}{31}$.