Номер 13, страница 116, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

13. (3) Докажите, что при допустимых значениях переменной $x$ имеют место следующие тождества:

а) $\sin(\arccos x) = \sqrt{1-x^2}$;

б) $\operatorname{tg}(\arccos x) = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$;

в) $\cos(\operatorname{arctg} x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.

a) $\sin(\arccos x) = \sqrt{1-x^2}$

Пусть $y = \arccos(x)$. По определению арккосинуса, это означает, что $\cos(y) = x$ и угол $y$ находится в промежутке $y \in [0, \pi]$.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2(y) + \cos^2(y) = 1$.
Выразим из него $\sin^2(y)$: $\sin^2(y) = 1 - \cos^2(y)$.
Подставим $\cos(y) = x$: $\sin^2(y) = 1 - x^2$.
Отсюда $\sin(y) = \pm\sqrt{1-x^2}$.
Поскольку $y \in [0, \pi]$, синус в этом промежутке является неотрицательным, то есть $\sin(y) \ge 0$. Следовательно, мы должны выбрать знак "плюс".
Таким образом, $\sin(y) = \sqrt{1-x^2}$.
Заменяя $y$ обратно на $\arccos(x)$, получаем: $\sin(\arccos x) = \sqrt{1-x^2}$.
Данное тождество справедливо для всех допустимых значений $x$, которые для функции $\arccos(x)$ и для корня $\sqrt{1-x^2}$ составляют промежуток $x \in [-1, 1]$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

б) $\operatorname{tg}(\arccos x) = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$

Пусть $y = \arccos(x)$. Тогда $\cos(y) = x$ и $y \in [0, \pi]$.
Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу: $\operatorname{tg}(y) = \frac{\sin(y)}{\cos(y)}$.
Нам уже известны $\cos(y) = x$ и, из предыдущего пункта, $\sin(y) = \sin(\arccos x) = \sqrt{1-x^2}$.
Подставим эти выражения в формулу для тангенса:
$\operatorname{tg}(\arccos x) = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$.
Область допустимых значений для этого тождества определяется областью определения $\arccos(x)$, то есть $x \in [-1, 1]$, и условием, что знаменатель не равен нулю, $x \neq 0$. Также тангенс не определен для углов $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - целое число. В нашем случае $y \in [0, \pi]$, поэтому нужно исключить $y = \frac{\pi}{2}$. Условие $y = \arccos(x) = \frac{\pi}{2}$ эквивалентно $x = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Таким образом, тождество справедливо при $x \in [-1, 0) \cup (0, 1]$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

в) $\cos(\operatorname{arctg} x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

Пусть $y = \operatorname{arctg}(x)$. По определению арктангенса, это означает, что $\operatorname{tg}(y) = x$ и угол $y$ находится в промежутке $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Воспользуемся тригонометрическим тождеством, связывающим косинус и тангенс: $1 + \operatorname{tg}^2(y) = \frac{1}{\cos^2(y)}$.
Выразим из него $\cos^2(y)$: $\cos^2(y) = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2(y)}$.
Подставим $\operatorname{tg}(y) = x$: $\cos^2(y) = \frac{1}{1+x^2}$.
Отсюда $\cos(y) = \pm\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
Поскольку $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, косинус в этом промежутке является положительным, то есть $\cos(y) > 0$. Следовательно, мы должны выбрать знак "плюс".
Таким образом, $\cos(y) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
Заменяя $y$ обратно на $\operatorname{arctg}(x)$, получаем: $\cos(\operatorname{arctg} x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
Область допустимых значений для $\operatorname{arctg}(x)$ — это все действительные числа. Выражение в правой части $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ также определено для всех действительных $x$, так как подкоренное выражение $1+x^2$ всегда строго больше нуля.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.