Номер 1, страница 118, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

1. (2) Решите уравнения:

а) $arccos x = \frac{2\pi}{3}$;

б) $2arcsin x = \pi$;

в) $3arctg x = 2\pi$;

г) $6arcctg 2x - \pi = 0$.

а) Дано уравнение: $\arccos x = \frac{2\pi}{3}$.

По определению арккосинуса, если $\arccos x = y$, то $x = \cos y$. При этом область значений функции $y = \arccos x$ есть отрезок $[0, \pi]$.

Значение $\frac{2\pi}{3}$ принадлежит отрезку $[0, \pi]$, так как $0 \le \frac{2\pi}{3} \le \pi$. Следовательно, уравнение имеет решение.

Чтобы найти $x$, нужно вычислить косинус от правой части:

$x = \cos(\frac{2\pi}{3})$

Используя таблицу значений тригонометрических функций или формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$, получаем:

$x = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

Ответ: $x = -\frac{1}{2}$.

б) Дано уравнение: $2\arcsin x = \pi$.

Сначала выразим $\arcsin x$, разделив обе части уравнения на 2:

$\arcsin x = \frac{\pi}{2}$

По определению арксинуса, если $\arcsin x = y$, то $x = \sin y$. Область значений функции $y = \arcsin x$ есть отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Значение $\frac{\pi}{2}$ принадлежит этому отрезку, поэтому решение существует.

Находим $x$:

$x = \sin(\frac{\pi}{2})$

$x = 1$

Ответ: $x = 1$.

в) Дано уравнение: $3\operatorname{arctg} x = 2\pi$.

Выразим $\operatorname{arctg} x$, разделив обе части на 3:

$\operatorname{arctg} x = \frac{2\pi}{3}$

Область значений функции $y = \operatorname{arctg} x$ есть интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Сравним значение $\frac{2\pi}{3}$ с границами этого интервала. Заметим, что $\frac{2\pi}{3} \approx \frac{2 \cdot 3.14}{3} \approx 2.09$, а $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14}{2} \approx 1.57$.

Поскольку $\frac{2\pi}{3} > \frac{\pi}{2}$, значение $\frac{2\pi}{3}$ не принадлежит области значений арктангенса.

Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

г) Дано уравнение: $6\operatorname{arcctg} 2x - \pi = 0$.

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить $\operatorname{arcctg} 2x$:

$6\operatorname{arcctg} 2x = \pi$

$\operatorname{arcctg} 2x = \frac{\pi}{6}$

По определению арккотангенса, если $\operatorname{arcctg} y = z$, то $y = \operatorname{ctg} z$. Область значений функции $z = \operatorname{arcctg} y$ есть интервал $(0, \pi)$.

Значение $\frac{\pi}{6}$ принадлежит этому интервалу, так как $0 < \frac{\pi}{6} < \pi$. Следовательно, уравнение имеет решение.

Применим определение к нашему уравнению:

$2x = \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{6})$

Значение котангенса для угла $\frac{\pi}{6}$ равно $\sqrt{3}$.

$2x = \sqrt{3}$

Теперь найдем $x$, разделив обе части на 2:

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.