Номер 2, страница 118, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

2. Решите неравенства:

а) (2) $\arccos x > \frac{2\pi}{3}$, $\arccos x \le \frac{2\pi}{3}$;

б) (2) $2\arcsin x \le \pi$, $2\arcsin x \ge \pi$;

в) (3) $3\arctan x < 2\pi$, $3\arctan x > 2\pi$;

г) (3) $6\operatorname{arcctg} 2x - \pi \ge 0$, $6\operatorname{arcctg} 2x - \pi < 0$.

а)

Решим неравенство $arccos x > \frac{2\pi}{3}$.
Область определения функции $y=arccos x$ — отрезок $[-1, 1]$. Функция является монотонно убывающей. Применим к обеим частям неравенства функцию $cos$, изменив знак неравенства на противоположный: $cos(arccos x) < cos(\frac{2\pi}{3})$, что дает $x < -\frac{1}{2}$. Учитывая область определения, получаем итоговое решение: $-1 \le x < -\frac{1}{2}$.
Ответ: $x \in [-1, -1/2)$.

Решим неравенство $arccos x \le \frac{2\pi}{3}$.
Аналогично, применяя убывающую функцию $cos$ и меняя знак неравенства, получаем: $cos(arccos x) \ge cos(\frac{2\pi}{3})$, что дает $x \ge -\frac{1}{2}$. Учитывая область определения ($x \le 1$), получаем итоговое решение: $-\frac{1}{2} \le x \le 1$.
Ответ: $x \in [-1/2, 1]$.

б)

Решим неравенство $2arcsin x \le \pi$.
Разделив на 2, получим $arcsin x \le \frac{\pi}{2}$. Область определения функции $y=arcsin x$ — отрезок $[-1, 1]$, а область значений — $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. По определению, любое значение $arcsin x$ не превышает $\frac{\pi}{2}$. Следовательно, неравенство верно для всех $x$ из области определения.
Ответ: $x \in [-1, 1]$.

Решим неравенство $2arcsin x \ge \pi$.
Разделив на 2, получим $arcsin x \ge \frac{\pi}{2}$. Исходя из области значений $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, данное неравенство может выполняться только в случае равенства: $arcsin x = \frac{\pi}{2}$. Это равенство достигается при $x = sin(\frac{\pi}{2})$.
Ответ: $x=1$.

в)

Решим неравенство $3arctg x < 2\pi$.
Разделив на 3, получим $arctg x < \frac{2\pi}{3}$. Область определения функции $y = arctg x$ — все действительные числа, $x \in (-\infty, +\infty)$. Область значений — интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Поскольку $\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3}$, а любое значение $arctg x$ строго меньше $\frac{\pi}{2}$, неравенство верно для любого действительного $x$.
Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

Решим неравенство $3arctg x > 2\pi$.
Разделив на 3, получим $arctg x > \frac{2\pi}{3}$. Так как область значений функции $y = arctg x$ есть $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, а $\frac{2\pi}{3}$ больше верхней границы этой области, то не существует таких $x$, для которых неравенство выполнялось бы.
Ответ: $x \in \emptyset$.

г)

Решим неравенство $6arcctg 2x - \pi \ge 0$.
Преобразуем его к виду $arcctg 2x \ge \frac{\pi}{6}$. Функция $y = arcctg(t)$ является монотонно убывающей. Применив к обеим частям функцию $ctg$ и изменив знак неравенства, получаем: $ctg(arcctg 2x) \le ctg(\frac{\pi}{6})$, откуда $2x \le \sqrt{3}$, и, следовательно, $x \le \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $x \in (-\infty, \frac{\sqrt{3}}{2}]$.

Решим неравенство $6arcctg 2x - \pi < 0$.
Преобразуем его к виду $arcctg 2x < \frac{\pi}{6}$. Аналогично, применяя убывающую функцию $ctg$ и меняя знак, получаем: $ctg(arcctg 2x) > ctg(\frac{\pi}{6})$, откуда $2x > \sqrt{3}$, и, следовательно, $x > \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $x \in (\frac{\sqrt{3}}{2}, +\infty)$.