Номер 4, страница 119, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

4. (3) Решите уравнения:

а)

$3\arcsin^2 x + 5\pi\arcsin x - 2\pi^2 = 0;$

б)

$3\arcsin^2 x + 5\pi\arcsin x + 2\pi^2 = 0.$

а) $8\arcsin^2 x + 5\pi\arcsin x - 2\pi^2 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $\arcsin x$. Выполним замену переменной. Пусть $y = \arcsin x$. Тогда уравнение принимает вид:

$8y^2 + 5\pi y - 2\pi^2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта. В данном случае коэффициенты: $a=8$, $b=5\pi$, $c=-2\pi^2$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (5\pi)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-2\pi^2) = 25\pi^2 + 64\pi^2 = 89\pi^2$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$\sqrt{D} = \sqrt{89\pi^2} = \pi\sqrt{89}$

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5\pi \pm \pi\sqrt{89}}{2 \cdot 8} = \frac{\pi(-5 \pm \sqrt{89})}{16}$

Получаем два возможных значения для $y$:

$y_1 = \frac{\pi(\sqrt{89} - 5)}{16}$

$y_2 = \frac{\pi(-5 - \sqrt{89})}{16} = -\frac{\pi(5 + \sqrt{89})}{16}$

Теперь необходимо выполнить обратную замену $y = \arcsin x$. Область значений функции арксинус: $E(\arcsin x) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Проверим, принадлежат ли найденные корни $y_1$ и $y_2$ этому промежутку.

Проверка для $y_1 = \frac{\pi(\sqrt{89} - 5)}{16}$:

Оценим значение $\sqrt{89}$. Так как $9^2 = 81$ и $10^2 = 100$, то $9 < \sqrt{89} < 10$.

Тогда $9 - 5 < \sqrt{89} - 5 < 10 - 5$, что равносильно $4 < \sqrt{89} - 5 < 5$.

Умножим неравенство на $\frac{\pi}{16}$: $\frac{4\pi}{16} < \frac{\pi(\sqrt{89} - 5)}{16} < \frac{5\pi}{16}$, то есть $\frac{\pi}{4} < y_1 < \frac{5\pi}{16}$.

Так как $-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{4}$ и $\frac{5\pi}{16} \le \frac{\pi}{2}$ (поскольку $\frac{5}{16} \le \frac{1}{2}$), то значение $y_1$ принадлежит области значений арксинуса. Следовательно, этот корень подходит.

$\arcsin x = \frac{\pi(\sqrt{89} - 5)}{16} \implies x = \sin\left(\frac{\pi(\sqrt{89} - 5)}{16}\right)$

Проверка для $y_2 = -\frac{\pi(5 + \sqrt{89})}{16}$:

Используя оценку $9 < \sqrt{89} < 10$, имеем $5+9 < 5+\sqrt{89} < 5+10$, что равносильно $14 < 5+\sqrt{89} < 15$.

Умножим на $-\frac{\pi}{16}$, меняя знаки неравенства: $-\frac{15\pi}{16} < y_2 < -\frac{14\pi}{16}$.

Упростим правую часть: $y_2 < -\frac{7\pi}{8}$. Поскольку $-\frac{7\pi}{8} < -\frac{4\pi}{8} = -\frac{\pi}{2}$, значение $y_2$ не входит в область значений арксинуса. Этот корень является посторонним.

Таким образом, уравнение имеет только одно решение.

Ответ: $x = \sin\left(\frac{\pi(\sqrt{89}-5)}{16}\right)$

б) $8\arcsin^2 x + 5\pi\arcsin x + 2\pi^2 = 0$

Как и в предыдущем пункте, сделаем замену $y = \arcsin x$. Получим квадратное уравнение:

$8y^2 + 5\pi y + 2\pi^2 = 0$

Вычислим его дискриминант $D$, где $a=8$, $b=5\pi$, $c=2\pi^2$:

$D = b^2 - 4ac = (5\pi)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (2\pi^2) = 25\pi^2 - 64\pi^2 = -39\pi^2$

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение $8y^2 + 5\pi y + 2\pi^2 = 0$ не имеет действительных корней.

Так как не существует действительных значений $y$, удовлетворяющих этому уравнению, то не существует и таких значений $x$, для которых $\arcsin x = y$. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.