Номер 18, страница 116, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

18. (3) Три числа, сумма которых равна 65, составляют геометрическую прогрессию. Если из первого числа вычесть 25, второе оставить без изменения, а к третьему прибавить 5, то полученные числа составят арифметическую прогрессию. Найдите исходные числа.

Пусть три исходных числа, составляющие геометрическую прогрессию, это $b_1, b_2, b_3$. Их можно представить как $b_1$, $b_1q$ и $b_1q^2$, где $q$ — знаменатель прогрессии. По первому условию, сумма этих чисел равна 65, следовательно:
$b_1 + b_1q + b_1q^2 = 65$, или $b_1(1 + q + q^2) = 65$ (1).

После изменений, указанных в условии, получаются новые числа: $a_1 = b_1 - 25$, $a_2 = b_1q$ и $a_3 = b_1q^2 + 5$. Эти числа составляют арифметическую прогрессию. Используя характеристическое свойство арифметической прогрессии, $2a_2 = a_1 + a_3$, получаем:
$2(b_1q) = (b_1 - 25) + (b_1q^2 + 5)$.
Упростим это уравнение: $2b_1q = b_1 + b_1q^2 - 20$, что можно преобразовать к виду $b_1(q^2 - 2q + 1) = 20$, или $b_1(q - 1)^2 = 20$ (2).

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} b_1(1 + q + q^2) = 65 \\ b_1(q - 1)^2 = 20 \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $b_1$ (при этом $q \neq 1$): $b_1 = \frac{20}{(q - 1)^2}$. Подставим это выражение в первое уравнение: $\frac{20}{(q - 1)^2}(1 + q + q^2) = 65$.

Решим полученное уравнение относительно $q$. Разделим обе части на 5: $4(1 + q + q^2) = 13(q - 1)^2$. Раскрыв скобки, получим: $4 + 4q + 4q^2 = 13(q^2 - 2q + 1)$, или $4 + 4q + 4q^2 = 13q^2 - 26q + 13$. После приведения подобных слагаемых, приходим к квадратному уравнению: $9q^2 - 30q + 9 = 0$. Разделив его на 3, получаем: $3q^2 - 10q + 3 = 0$.

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$. Корни равны:
$q_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$
$q_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Теперь найдем соответствующие значения $b_1$ и сами числа для каждого из найденных $q$.

В случае, когда $q = 3$, из уравнения (2) получаем $b_1 = \frac{20}{(3 - 1)^2} = \frac{20}{4} = 5$. Исходные числа: $b_1 = 5$, $b_2 = 5 \cdot 3 = 15$, $b_3 = 5 \cdot 3^2 = 45$.

В случае, когда $q = \frac{1}{3}$, получаем $b_1 = \frac{20}{(\frac{1}{3} - 1)^2} = \frac{20}{(-\frac{2}{3})^2} = \frac{20}{\frac{4}{9}} = 45$. Исходные числа: $b_1 = 45$, $b_2 = 45 \cdot \frac{1}{3} = 15$, $b_3 = 45 \cdot (\frac{1}{3})^2 = 5$.

Оба случая приводят к одному и тому же набору чисел: 5, 15, 45. Проверим, удовлетворяют ли они всем условиям. Сумма $5+15+45 = 65$. Это геометрическая прогрессия со знаменателем 3. Новые числа $5-25=-20$, $15$, $45+5=50$ образуют арифметическую прогрессию, так как $15 - (-20) = 35$ и $50 - 15 = 35$. Все условия выполнены.

Ответ: 5, 15, 45.