Номер 11, страница 115, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

11. (3) а) Вычислите значение выражения $\cos\left(2\arcsin\frac{1}{3}\right)$.

б) Докажите, что если $|a| \le 1$, то $\cos(2\arcsin a) = 1 - 2a^2$.

в) Пользуясь формулой, доказанной в пункте б), определите $\cos\left(2\arcsin\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}\right)$.

а)

Для вычисления значения выражения воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha)$.

Пусть $\alpha = \arcsin\frac{1}{3}$. По определению арксинуса, это означает, что $\sin(\alpha) = \frac{1}{3}$.

Подставим это значение в формулу:

$\cos(2\arcsin\frac{1}{3}) = 1 - 2\sin^2(\arcsin\frac{1}{3}) = 1 - 2 \cdot (\sin(\arcsin\frac{1}{3}))^2$.

Так как $\sin(\arcsin x) = x$, получаем:

$1 - 2 \cdot (\frac{1}{3})^2 = 1 - 2 \cdot \frac{1}{9} = 1 - \frac{2}{9} = \frac{9-2}{9} = \frac{7}{9}$.

Ответ: $\frac{7}{9}$.

б)

Требуется доказать, что если $|a| \le 1$, то $\cos(2\arcsin a) = 1 - 2a^2$.

Пусть $\alpha = \arcsin a$. Условие $|a| \le 1$ — это область определения функции арксинус, поэтому такое $\alpha$ существует и принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

По определению арксинуса, $\sin(\alpha) = \sin(\arcsin a) = a$.

Используем тригонометрическую формулу для косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha)$.

Подставим $\alpha = \arcsin a$ и, соответственно, $\sin(\alpha) = a$ в эту формулу:

$\cos(2\arcsin a) = 1 - 2(\sin(\arcsin a))^2 = 1 - 2a^2$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

в)

Для нахождения значения выражения $\cos(2\arcsin\frac{2}{\sqrt{5+\sqrt{7}}})$ воспользуемся формулой, доказанной в пункте б): $\cos(2\arcsin a) = 1 - 2a^2$.

В данном случае, $a = \frac{2}{\sqrt{5+\sqrt{7}}}$.

Сначала убедимся, что $|a| \le 1$. Для этого достаточно проверить, что $a^2 \le 1$.

$a^2 = (\frac{2}{\sqrt{5+\sqrt{7}}})^2 = \frac{4}{5+\sqrt{7}}$.

Поскольку $\sqrt{7} > 0$, то $5+\sqrt{7} > 5 > 4$. Значит, знаменатель больше числителя, и $a^2 < 1$. Следовательно, $|a| < 1$, и мы можем применить формулу.

Применяем формулу:

$\cos(2\arcsin\frac{2}{\sqrt{5+\sqrt{7}}}) = 1 - 2 \cdot (\frac{2}{\sqrt{5+\sqrt{7}}})^2 = 1 - 2 \cdot \frac{4}{5+\sqrt{7}} = 1 - \frac{8}{5+\sqrt{7}}$.

Приведем выражение к общему знаменателю:

$1 - \frac{8}{5+\sqrt{7}} = \frac{5+\sqrt{7}-8}{5+\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}-3}{5+\sqrt{7}}$.

Чтобы упростить результат, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $5-\sqrt{7}$:

$\frac{\sqrt{7}-3}{5+\sqrt{7}} \cdot \frac{5-\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}} = \frac{(\sqrt{7}-3)(5-\sqrt{7})}{(5+\sqrt{7})(5-\sqrt{7})} = \frac{5\sqrt{7} - (\sqrt{7})^2 - 15 + 3\sqrt{7}}{5^2 - (\sqrt{7})^2}$.

$\frac{5\sqrt{7} - 7 - 15 + 3\sqrt{7}}{25 - 7} = \frac{8\sqrt{7} - 22}{18}$.

Сократим дробь на 2:

$\frac{2(4\sqrt{7} - 11)}{18} = \frac{4\sqrt{7} - 11}{9}$.

Ответ: $\frac{4\sqrt{7} - 11}{9}$.