Номер 12, страница 116, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

12. (3) а) Вычислите значение выражения $tg(2arctg3)$.

б) Докажите, что для любого значения $a$ выполняется равенство $tg(2arctga)=\frac{2a}{1-a^2}$.

в) Пользуясь формулой, доказанной в пункте б), определите $tg(2arctg\sqrt{3-2\sqrt{2}})$.

а) Для вычисления значения выражения $tg(2arcctg3)$ воспользуемся формулой тангенса двойного угла: $tg(2\alpha) = \frac{2tg\alpha}{1 - tg^2\alpha}$.

Пусть $\alpha = arcctg3$. По определению арккотангенса, это означает, что $ctg\alpha = 3$ и $0 < \alpha < \pi$.

Найдем $tg\alpha$. Так как $ctg\alpha = \frac{1}{tg\alpha}$, то $tg\alpha = \frac{1}{ctg\alpha} = \frac{1}{3}$.

Теперь подставим значение $tg\alpha$ в формулу двойного угла:

$tg(2arcctg3) = \frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{1 - (\frac{1}{3})^2} = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{9-1}{9}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

б) Требуется доказать равенство $tg(2arcctg a) = \frac{2a}{1-a^2}$. Проверим это равенство, используя результат из пункта а), где $a=3$.

Левая часть: $tg(2arcctg3) = \frac{3}{4}$.

Правая часть: $\frac{2 \cdot 3}{1 - 3^2} = \frac{6}{1-9} = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4}$.

Поскольку $\frac{3}{4} \ne -\frac{3}{4}$, равенство, данное в условии, неверно. Вероятно, в нем допущена опечатка в знаменателе. Докажем правильное тождество: $tg(2arcctg a) = \frac{2a}{a^2-1}$.

Пусть $\alpha = arcctg a$. Тогда, по определению, $ctg\alpha = a$. Отсюда следует, что $tg\alpha = \frac{1}{a}$ (при $a \ne 0$).

Используя формулу тангенса двойного угла $tg(2\alpha) = \frac{2tg\alpha}{1-tg^2\alpha}$, получаем:

$tg(2arcctg a) = \frac{2 \cdot \frac{1}{a}}{1 - (\frac{1}{a})^2} = \frac{\frac{2}{a}}{1 - \frac{1}{a^2}} = \frac{\frac{2}{a}}{\frac{a^2-1}{a^2}} = \frac{2}{a} \cdot \frac{a^2}{a^2-1} = \frac{2a}{a^2-1}$.

Это тождество справедливо для всех значений $a$, при которых выражение имеет смысл (то есть $a \ne \pm 1$).

Ответ: Равенство, данное в условии, неверно. Правильное равенство: $tg(2arcctg a) = \frac{2a}{a^2-1}$.

в) В задании требуется использовать формулу, доказанную в пункте б). Так как мы установили, что в исходной формуле была опечатка, мы будем использовать исправленную и доказанную нами формулу: $tg(2arcctg a) = \frac{2a}{a^2-1}$.

В данном случае $a = \sqrt{3-2\sqrt{2}}$.

Упростим выражение для $a$. Заметим, что подкоренное выражение можно представить в виде полного квадрата:

$3-2\sqrt{2} = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{2}-1)^2$.

Следовательно, $a = \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} = |\sqrt{2}-1|$.

Так как $\sqrt{2} \approx 1.414 > 1$, то $\sqrt{2}-1 > 0$, и $a = \sqrt{2}-1$.

Теперь подставим это значение $a$ в исправленную формулу:

$tg(2arcctg\sqrt{3-2\sqrt{2}}) = tg(2arcctg(\sqrt{2}-1)) = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}-1)^2 - 1}$.

Вычислим знаменатель: $(\sqrt{2}-1)^2 - 1 = (2 - 2\sqrt{2} + 1) - 1 = 3 - 2\sqrt{2} - 1 = 2 - 2\sqrt{2}$.

Подставим результат обратно в дробь:

$\frac{2(\sqrt{2}-1)}{2 - 2\sqrt{2}} = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{2(1 - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{2}-1}{1 - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}-1}{-(\sqrt{2}-1)} = -1$.

Ответ: $-1$.