Номер 5, страница 114, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

5. (3) Докажите, что при допустимых значениях переменной $x$ имеют место следующие тождества:

a) $\cos(\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}$

б) $\operatorname{tg}(\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

в) $\sin(\operatorname{arctg} x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

а) Докажите, что $\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ).
Функция $\arcsin x$ определена для $x \in [-1, 1]$.
Выражение в правой части $\sqrt{1 - x^2}$ определено, когда подкоренное выражение неотрицательно: $1 - x^2 \ge 0$, что эквивалентно $x^2 \le 1$, или $x \in [-1, 1]$.
Области определения левой и правой частей совпадают.

2. Выполним доказательство.
Пусть $y = \arcsin x$. По определению арксинуса, это означает, что $\sin y = x$ и угол $y$ находится в промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Нам необходимо найти $\cos y$. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$
Выразим из него $\cos^2 y$: $\cos^2 y = 1 - \sin^2 y$
Поскольку $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, косинус на этом промежутке принимает только неотрицательные значения, то есть $\cos y \ge 0$. Следовательно, при извлечении корня мы выбираем знак "+": $\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y}$
Теперь подставим $\sin y = x$: $\cos y = \sqrt{1 - x^2}$
Так как $y = \arcsin x$, мы получаем исходное тождество: $\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$

Ответ: тождество доказано.

б) Докажите, что $\text{tg}(\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$

1. Определим ОДЗ.
Как и в пункте а), $\arcsin x$ определен при $x \in [-1, 1]$.
Однако, в правой части присутствует знаменатель $\sqrt{1 - x^2}$, который не должен быть равен нулю. Это означает, что $1 - x^2 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 1$.
Кроме того, функция тангенс не определена для углов, равных $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - целое число. Так как $\arcsin x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, нам нужно исключить значения $x$, для которых $\arcsin x = \pm\frac{\pi}{2}$. Это происходит при $x = \sin(\pm\frac{\pi}{2}) = \pm 1$.
Таким образом, ОДЗ для этого тождества: $x \in (-1, 1)$.

2. Выполним доказательство.
Пусть $y = \arcsin x$. Тогда $\sin y = x$ и $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
По определению тангенса: $\text{tg} y = \frac{\sin y}{\cos y}$
Из предыдущего пункта мы знаем, что $\cos y = \cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$.
Подставим известные значения $\sin y = x$ и $\cos y = \sqrt{1 - x^2}$ в формулу для тангенса: $\text{tg} y = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$
Заменяя $y$ на $\arcsin x$, получаем: $\text{tg}(\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$

Ответ: тождество доказано.

в) Докажите, что $\sin(\text{arctg} x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$

1. Определим ОДЗ.
Функция $\text{arctg} x$ определена для всех действительных чисел $x \in (-\infty, \infty)$.
Выражение в знаменателе правой части $\sqrt{1 + x^2}$ определено и не равно нулю для любого действительного $x$, так как $1 + x^2 \ge 1$.
Следовательно, ОДЗ для этого тождества — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

2. Выполним доказательство.
Пусть $y = \text{arctg} x$. По определению арктангенса, это означает, что $\text{tg} y = x$ и $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Нам нужно выразить $\sin y$ через $\text{tg} y$. Воспользуемся тригонометрическим тождеством: $1 + \text{tg}^2 y = \sec^2 y = \frac{1}{\cos^2 y}$
Отсюда $\cos^2 y = \frac{1}{1 + \text{tg}^2 y}$.
Поскольку $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, то $\cos y > 0$. Следовательно: $\cos y = \sqrt{\frac{1}{1 + \text{tg}^2 y}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \text{tg}^2 y}}$
Теперь воспользуемся определением тангенса $\text{tg} y = \frac{\sin y}{\cos y}$ чтобы выразить синус: $\sin y = \text{tg} y \cdot \cos y$
Подставим найденное выражение для $\cos y$: $\sin y = \text{tg} y \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + \text{tg}^2 y}} = \frac{\text{tg} y}{\sqrt{1 + \text{tg}^2 y}}$
Теперь подставим $\text{tg} y = x$: $\sin y = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$
Заменяя $y$ на $\text{arctg} x$, получаем искомое тождество: $\sin(\text{arctg} x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$

Ответ: тождество доказано.