Номер 2, страница 114, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

2. (3) Вычислите значения следующих выражений:

а)

$cos\left(\frac{\pi}{3}-\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\right)$, $cos\left(\arcsin\frac{3}{5}-\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\right)$, $cos\left(\arcsin\frac{3}{5}+\text{arcctg}5\right);$

б)

$\sin\left(\arcsin\frac{3}{5}+\frac{\pi}{4}\right)$, $\sin\left(\arcsin\frac{3}{5}+\arccos\frac{1}{3}\right)$, $\sin(\text{arcctg}5-\text{arcctg}2);$

в)

$\text{tg}\left(\frac{\pi}{6}-\text{arcctg}5\right)$, $\text{tg}\left(\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)-\text{arcctg}5\right)$, $\text{tg}\left(\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)+\arcsin\frac{2}{3}\right).$

а)

Для выражения $cos(\frac{\pi}{3}-\arccos(\frac{1}{3}))$: используем формулу косинуса разности $cos(A-B) = cos(A)cos(B)+sin(A)sin(B)$. Пусть $\alpha = \arccos(\frac{1}{3})$, тогда $cos(\alpha)=\frac{1}{3}$ и $sin(\alpha)=\sqrt{1-(\frac{1}{3})^2}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Выражение равно $cos(\frac{\pi}{3})cos(\alpha)+sin(\frac{\pi}{3})sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{1+2\sqrt{6}}{6}$.

Ответ: $\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$.

Для выражения $cos(\arcsin\frac{3}{5}-\arccos(-\frac{1}{3}))$: используем формулу косинуса разности. Пусть $A = \arcsin\frac{3}{5}$ и $B = \arccos(-\frac{1}{3})$. Тогда $sin(A)=\frac{3}{5}$ и $cos(A)=\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=\frac{4}{5}$. Для $B$, $cos(B)=-\frac{1}{3}$ и $sin(B)=\sqrt{1-(-\frac{1}{3})^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$ (так как $B$ во II четверти, $sin(B)>0$). Выражение равно $cos(A)cos(B)+sin(A)sin(B) = \frac{4}{5} \cdot (-\frac{1}{3}) + \frac{3}{5} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{-4+6\sqrt{2}}{15}$.

Ответ: $\frac{6\sqrt{2}-4}{15}$.

Для выражения $cos(\arcsin\frac{3}{5}+\mathrm{arcctg}\,5)$: используем формулу косинуса суммы $cos(A+B) = cos(A)cos(B)-sin(A)sin(B)$. Пусть $A = \arcsin\frac{3}{5}$ и $B = \mathrm{arcctg}\,5$. Тогда $sin(A)=\frac{3}{5}$, $cos(A)=\frac{4}{5}$. Для $B$, $\mathrm{ctg}\,(B)=5$. Из $1+\mathrm{ctg}^2(B) = \frac{1}{sin^2(B)}$ находим $sin(B)=\frac{1}{\sqrt{1+5^2}}=\frac{1}{\sqrt{26}}$. Тогда $cos(B) = \mathrm{ctg}\,(B) \cdot sin(B) = \frac{5}{\sqrt{26}}$. Выражение равно $\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{26}} - \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{20-3}{5\sqrt{26}} = \frac{17}{5\sqrt{26}} = \frac{17\sqrt{26}}{130}$.

Ответ: $\frac{17\sqrt{26}}{130}$.

б)

Для выражения $sin(\arcsin\frac{3}{5}+\frac{\pi}{4})$: используем формулу синуса суммы $sin(A+B) = sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B)$. Пусть $A = \arcsin\frac{3}{5}$, тогда $sin(A)=\frac{3}{5}$ и $cos(A)=\frac{4}{5}$. Значения для $B=\frac{\pi}{4}$: $sin(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $cos(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Выражение равно $\frac{3}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}+4\sqrt{2}}{10} = \frac{7\sqrt{2}}{10}$.

Ответ: $\frac{7\sqrt{2}}{10}$.

Для выражения $sin(\arcsin\frac{3}{5}+\arccos\frac{1}{3})$: используем формулу синуса суммы. Пусть $A = \arcsin\frac{3}{5}$ и $B = \arccos\frac{1}{3}$. Тогда $sin(A)=\frac{3}{5}$, $cos(A)=\frac{4}{5}$. Для $B$, $cos(B)=\frac{1}{3}$ и $sin(B)=\sqrt{1-(\frac{1}{3})^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Выражение равно $sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3} + \frac{4}{5} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{3+8\sqrt{2}}{15}$.

Ответ: $\frac{3+8\sqrt{2}}{15}$.

Для выражения $sin(\mathrm{arcctg}\,5-\mathrm{arcctg}\,2)$: используем формулу синуса разности $sin(A-B)=sin(A)cos(B)-cos(A)sin(B)$. Пусть $A = \mathrm{arcctg}\,5$ и $B = \mathrm{arcctg}\,2$. Для $A$: $\mathrm{ctg}\,(A)=5$, $sin(A)=\frac{1}{\sqrt{26}}$, $cos(A)=\frac{5}{\sqrt{26}}$. Для $B$: $\mathrm{ctg}\,(B)=2$, $sin(B)=\frac{1}{\sqrt{1+2^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$, $cos(B)=\frac{2}{\sqrt{5}}$. Выражение равно $\frac{1}{\sqrt{26}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} - \frac{5}{\sqrt{26}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{2-5}{\sqrt{130}} = -\frac{3}{\sqrt{130}} = -\frac{3\sqrt{130}}{130}$.

Ответ: $-\frac{3\sqrt{130}}{130}$.

в)

Для выражения $tg(\frac{\pi}{6}-\mathrm{arcctg}\,5)$: используем формулу тангенса разности $tg(A-B) = \frac{tg(A)-tg(B)}{1+tg(A)tg(B)}$. Пусть $A = \frac{\pi}{6}$ и $B=\mathrm{arcctg}\,5$. Тогда $tg(A)=\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $tg(B)=\frac{1}{\mathrm{ctg}\,(B)}=\frac{1}{5}$. Выражение равно $\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{5}}{1+\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{5}} = \frac{\frac{5-\sqrt{3}}{5\sqrt{3}}}{\frac{5\sqrt{3}+1}{5\sqrt{3}}} = \frac{5-\sqrt{3}}{1+5\sqrt{3}} = \frac{(5-\sqrt{3})(5\sqrt{3}-1)}{(5\sqrt{3}+1)(5\sqrt{3}-1)} = \frac{25\sqrt{3}-5-15+\sqrt{3}}{75-1} = \frac{26\sqrt{3}-20}{74} = \frac{13\sqrt{3}-10}{37}$.

Ответ: $\frac{13\sqrt{3}-10}{37}$.

Для выражения $tg(\arccos(-\frac{1}{3})-\mathrm{arctg}\,5)$: используем формулу тангенса разности. Пусть $A = \arccos(-\frac{1}{3})$ и $B=\mathrm{arctg}\,5$. Для $A$: $cos(A)=-\frac{1}{3}$, $A$ во II четверти, $sin(A)=\sqrt{1-(-\frac{1}{3})^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Тогда $tg(A)=\frac{sin(A)}{cos(A)}=-2\sqrt{2}$. Для $B$: $tg(B)=5$. Выражение равно $\frac{-2\sqrt{2}-5}{1+(-2\sqrt{2})\cdot 5} = \frac{-(5+2\sqrt{2})}{1-10\sqrt{2}} = \frac{(5+2\sqrt{2})(1+10\sqrt{2})}{(10\sqrt{2}-1)(10\sqrt{2}+1)} = \frac{5+50\sqrt{2}+2\sqrt{2}+40}{200-1} = \frac{45+52\sqrt{2}}{199}$.

Ответ: $\frac{45+52\sqrt{2}}{199}$.

Для выражения $tg(\arccos(-\frac{1}{3})+\arcsin\frac{2}{3})$: используем формулу тангенса суммы $tg(A+B) = \frac{tg(A)+tg(B)}{1-tg(A)tg(B)}$. Пусть $A = \arccos(-\frac{1}{3})$ и $B = \arcsin\frac{2}{3}$. Как ранее, $tg(A)=-2\sqrt{2}$. Для $B$: $sin(B)=\frac{2}{3}$, $B$ в I четверти, $cos(B)=\sqrt{1-(\frac{2}{3})^2}=\frac{\sqrt{5}}{3}$. Тогда $tg(B)=\frac{2/3}{\sqrt{5}/3}=\frac{2}{\sqrt{5}}$. Выражение равно $\frac{-2\sqrt{2}+\frac{2}{\sqrt{5}}}{1-(-2\sqrt{2})\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}} = \frac{\frac{-2\sqrt{10}+2}{\sqrt{5}}}{\frac{\sqrt{5}+4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}} = \frac{2-2\sqrt{10}}{\sqrt{5}+4\sqrt{2}} = \frac{(2-2\sqrt{10})(\sqrt{5}-4\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+4\sqrt{2})(\sqrt{5}-4\sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{5}-8\sqrt{2}-2\sqrt{50}+8\sqrt{20}}{5-32} = \frac{2\sqrt{5}-8\sqrt{2}-10\sqrt{2}+16\sqrt{5}}{-27} = \frac{18\sqrt{5}-18\sqrt{2}}{-27} = \frac{18(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{-27} = \frac{2(\sqrt{2}-\sqrt{5})}{3}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{3}$.