Номер 9, страница 109, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

9. (1) Упростите:

а)

$\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} - \operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \operatorname{arctg}(-1):$

б)

$\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \arccos 0 + \operatorname{arctg} 1 - \arcsin 1 - \operatorname{arctg}\sqrt{3}.$

а) $arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}-arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3})+arccos(-\frac{1}{\sqrt{2}})+arctg(-1)$

Для решения этого выражения необходимо найти значения каждой из обратных тригонометрических функций по отдельности.

1. $arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$, так как $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и значение арксинуса должно лежать в промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

2. $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3})$. Используем свойство $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$. Мы знаем, что $arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$, так как $ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и значение арккотангенса должно лежать в промежутке $(0, \pi)$. Следовательно, $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

3. $arccos(-\frac{1}{\sqrt{2}}) = arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})$. Используем свойство $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$. Мы знаем, что $arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, так как $cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и значение арккосинуса должно лежать в промежутке $[0, \pi]$. Следовательно, $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

4. $arctg(-1)$. Используем свойство $arctg(-x) = -arctg(x)$. Мы знаем, что $arctg(1) = \frac{\pi}{4}$, так как $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$ и значение арктангенса должно лежать в промежутке $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Следовательно, $arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$\frac{\pi}{4} - \frac{2\pi}{3} + \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4}$

Сгруппируем и упростим слагаемые:

$(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) + \frac{3\pi}{4} - \frac{2\pi}{3} = 0 + \frac{3\pi}{4} - \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi}{4} - \frac{2\pi}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{3\pi \cdot 3}{12} - \frac{2\pi \cdot 4}{12} = \frac{9\pi - 8\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$.

Ответ: $\frac{\pi}{12}$.

б) $arcsin(\frac{1}{2})+arccos0+arctg1-arcsin1-arcctg\sqrt{3}$

Найдем значения каждой из функций по отдельности.

1. $arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$, так как $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

2. $arccos(0) = \frac{\pi}{2}$, так как $cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\frac{\pi}{2} \in [0, \pi]$.

3. $arctg(1) = \frac{\pi}{4}$, так как $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\frac{\pi}{4} \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

4. $arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$, так как $sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\frac{\pi}{2} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

5. $arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$, так как $ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$ и $\frac{\pi}{6} \in (0, \pi)$.

Подставим найденные значения в выражение:

$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}$

Сгруппируем и сократим подобные слагаемые:

$(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6}) + (\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}) + \frac{\pi}{4} = 0 + 0 + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.