Номер 4, страница 108, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

4. (3) Упростите следующие выражения:

а) $\arccos (\cos \frac{\pi}{7})$, $\arccos (\cos (-\frac{\pi}{7}))$, $\arccos (\cos \frac{15\pi}{7})$, $\arccos (\cos 99\frac{6}{7}\pi)$;

б) $\arcsin (\sin \frac{\pi}{5})$, $\arcsin (\sin (-\frac{\pi}{5}))$, $\arcsin (\sin 5.2\pi)$, $\arcsin (\sin \frac{4\pi}{5})$;

в) $\operatorname{arctg} (\operatorname{tg} (-\frac{\pi}{9}))$, $\operatorname{arctg} (\operatorname{tg} \frac{8\pi}{9})$, $\operatorname{arctg} (\operatorname{tg} \frac{9\pi}{5})$, $\operatorname{arctg} (\operatorname{tg} (\frac{9\pi}{5}+2015\pi))$;

г) $\operatorname{arcctg} (\operatorname{ctg} 0.3\pi)$, $\operatorname{arcctg} (\operatorname{ctg} 0.7\pi)$,
$\operatorname{arcctg} (\operatorname{ctg}(-0.3\pi))$, $\operatorname{arcctg} (\operatorname{ctg}(-0.7\pi))$.

а) Для упрощения выражений с арккосинусом, будем использовать тождество $arccos(cos(x)) = x$, которое верно для $x \in [0, \pi]$, и свойства функции косинус.

1. $arccos(cos(\frac{\pi}{7}))$.
Поскольку $\frac{\pi}{7}$ принадлежит отрезку $[0, \pi]$, то $arccos(cos(\frac{\pi}{7})) = \frac{\pi}{7}$.

2. $arccos(cos(-\frac{\pi}{7}))$.
Косинус - четная функция, поэтому $cos(-\frac{\pi}{7}) = cos(\frac{\pi}{7})$.
$arccos(cos(-\frac{\pi}{7})) = arccos(cos(\frac{\pi}{7})) = \frac{\pi}{7}$.

3. $arccos(cos(\frac{15\pi}{7}))$.
Аргумент $\frac{15\pi}{7}$ не входит в отрезок $[0, \pi]$. Используем периодичность косинуса (период $2\pi$):
$\frac{15\pi}{7} = \frac{14\pi + \pi}{7} = 2\pi + \frac{\pi}{7}$.
$cos(\frac{15\pi}{7}) = cos(2\pi + \frac{\pi}{7}) = cos(\frac{\pi}{7})$.
Следовательно, $arccos(cos(\frac{15\pi}{7})) = arccos(cos(\frac{\pi}{7})) = \frac{\pi}{7}$.

4. $arccos(cos(99\frac{6}{7}\pi))$.
Представим аргумент в виде $99\frac{6}{7}\pi = \frac{699\pi}{7}$.
$\frac{699\pi}{7} = \frac{700\pi - \pi}{7} = 100\pi - \frac{\pi}{7}$.
$cos(\frac{699\pi}{7}) = cos(100\pi - \frac{\pi}{7}) = cos(-\frac{\pi}{7}) = cos(\frac{\pi}{7})$.
Следовательно, $arccos(cos(99\frac{6}{7}\pi)) = arccos(cos(\frac{\pi}{7})) = \frac{\pi}{7}$.
Ответ: $\frac{\pi}{7}; \frac{\pi}{7}; \frac{\pi}{7}; \frac{\pi}{7}$.

б) Для упрощения выражений с арксинусом, будем использовать тождество $arcsin(sin(x)) = x$, которое верно для $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, и свойства функции синус.

1. $arcsin(sin(\frac{\pi}{5}))$.
Поскольку $\frac{\pi}{5}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, то $arcsin(sin(\frac{\pi}{5})) = \frac{\pi}{5}$.

2. $arcsin(sin(-\frac{\pi}{5}))$.
Поскольку $-\frac{\pi}{5}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, то $arcsin(sin(-\frac{\pi}{5})) = -\frac{\pi}{5}$.

3. $arcsin(sin(5,2\pi))$.
Аргумент $5,2\pi$ не входит в отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Используем периодичность синуса (период $2\pi$):
$sin(5,2\pi) = sin(5,2\pi - 4\pi) = sin(1,2\pi)$.
Аргумент $1,2\pi$ также не входит в область значений арксинуса. Используем формулу приведения $sin(x) = sin(\pi - x)$:
$sin(1,2\pi) = sin(\pi - 1,2\pi) = sin(-0,2\pi)$.
Так как $-0,2\pi \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, то $arcsin(sin(5,2\pi)) = -0,2\pi$.

4. $arcsin(sin(\frac{4\pi}{5}))$.
Аргумент $\frac{4\pi}{5}$ не входит в отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Используем формулу приведения $sin(x) = sin(\pi - x)$:
$sin(\frac{4\pi}{5}) = sin(\pi - \frac{4\pi}{5}) = sin(\frac{\pi}{5})$.
Следовательно, $arcsin(sin(\frac{4\pi}{5})) = arcsin(sin(\frac{\pi}{5})) = \frac{\pi}{5}$.
Ответ: $\frac{\pi}{5}; -\frac{\pi}{5}; -0,2\pi; \frac{\pi}{5}$.

в) Для упрощения выражений с арктангенсом, будем использовать тождество $arctg(tg(x)) = x$, которое верно для $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, и свойство периодичности тангенса.

1. $arctg(tg(-\frac{\pi}{9}))$.
Поскольку $-\frac{\pi}{9}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, то $arctg(tg(-\frac{\pi}{9})) = -\frac{\pi}{9}$.

2. $arctg(tg(\frac{8\pi}{9}))$.
Аргумент $\frac{8\pi}{9}$ не входит в интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Используем периодичность тангенса (период $\pi$):
$tg(\frac{8\pi}{9}) = tg(\frac{8\pi}{9} - \pi) = tg(-\frac{\pi}{9})$.
Следовательно, $arctg(tg(\frac{8\pi}{9})) = arctg(tg(-\frac{\pi}{9})) = -\frac{\pi}{9}$.

3. $arctg(tg(\frac{9\pi}{5}))$.
Аргумент $\frac{9\pi}{5}$ не входит в интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Используем периодичность тангенса:
$tg(\frac{9\pi}{5}) = tg(\frac{9\pi}{5} - 2\pi) = tg(\frac{9\pi - 10\pi}{5}) = tg(-\frac{\pi}{5})$.
Так как $-\frac{\pi}{5} \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, то $arctg(tg(\frac{9\pi}{5})) = -\frac{\pi}{5}$.

4. $arctg(tg(\frac{9\pi}{5} + 2015\pi))$.
Используем периодичность тангенса $tg(x + k\pi) = tg(x)$, где $k$ - целое число.
$tg(\frac{9\pi}{5} + 2015\pi) = tg(\frac{9\pi}{5})$.
Следовательно, $arctg(tg(\frac{9\pi}{5} + 2015\pi)) = arctg(tg(\frac{9\pi}{5})) = -\frac{\pi}{5}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{9}; -\frac{\pi}{9}; -\frac{\pi}{5}; -\frac{\pi}{5}$.

г) Для упрощения выражений с арккотангенсом, будем использовать тождество $arcctg(ctg(x)) = x$, которое верно для $x \in (0, \pi)$, и свойство периодичности котангенса.

1. $arcctg(ctg(0,3\pi))$.
Поскольку $0,3\pi$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$, то $arcctg(ctg(0,3\pi)) = 0,3\pi$.

2. $arcctg(ctg(0,7\pi))$.
Поскольку $0,7\pi$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$, то $arcctg(ctg(0,7\pi)) = 0,7\pi$.

3. $arcctg(ctg(-0,3\pi))$.
Аргумент $-0,3\pi$ не входит в интервал $(0, \pi)$. Используем периодичность котангенса (период $\pi$):
$ctg(-0,3\pi) = ctg(-0,3\pi + \pi) = ctg(0,7\pi)$.
Следовательно, $arcctg(ctg(-0,3\pi)) = arcctg(ctg(0,7\pi)) = 0,7\pi$.

4. $arcctg(ctg(-0,7\pi))$.
Аргумент $-0,7\pi$ не входит в интервал $(0, \pi)$. Используем периодичность котангенса:
$ctg(-0,7\pi) = ctg(-0,7\pi + \pi) = ctg(0,3\pi)$.
Следовательно, $arcctg(ctg(-0,7\pi)) = arcctg(ctg(0,3\pi)) = 0,3\pi$.
Ответ: $0,3\pi; 0,7\pi; 0,7\pi; 0,3\pi$.