Номер 2, страница 106, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

Упражнение 2

Найдите арксинусы чисел $-1$, $-\frac{1}{2}$, $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $0$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $1$.

Арксинусом числа $a$ (обозначается $arcsin(a)$) называется такой угол $x$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$. То есть, $arcsin(a) = x$ равносильно тому, что $sin(x) = a$ и $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$.

-1

Ищем угол $x$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, такой что $sin(x) = -1$. Этому условию удовлетворяет угол $x = -\frac{\pi}{2}$. Следовательно, $arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2}$

$-\frac{1}{2}$

Для нахождения арксинуса отрицательного числа воспользуемся свойством нечетности функции арксинус: $arcsin(-a) = -arcsin(a)$.Мы знаем, что $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, и $\frac{\pi}{6}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, поэтому $arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.Тогда $arcsin(-\frac{1}{2}) = -arcsin(\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6}$

$-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Аналогично предыдущему пункту, используем свойство нечетности: $arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$.Так как $sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, то $arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.Следовательно, $arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{3}$

0

Ищем угол $x$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, такой что $sin(x) = 0$. Этому условию удовлетворяет угол $x = 0$. Следовательно, $arcsin(0) = 0$.

Ответ: 0

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ищем угол $x$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, такой что $sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это известное табличное значение, которому соответствует угол $x = \frac{\pi}{4}$. Следовательно, $arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

1

Ищем угол $x$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, такой что $sin(x) = 1$. Этому условию удовлетворяет угол $x = \frac{\pi}{2}$. Следовательно, $arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$