Номер 27, страница 97, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

27. (5) Четыре девочки поют песни, аккомпанируя друг другу по очереди. Каждый раз одна из них играет, а остальные три поют. Оказалось, что Аня спела больше всех песен – 11, а Айжан спела меньше всех песен – 8. Сколько всего песен спели девочки?

Пусть $N$ – общее количество спетых песен. В исполнении каждой песни участвуют четыре девочки: одна аккомпанирует, а трое поют.

Следовательно, если всего было спето $N$ песен, то общее количество раз, когда девочки выступали в роли певиц, составляет $3 \times N$. Это число также должно быть равно сумме песен, спетых каждой из четырех девочек.

Обозначим количество песен, спетых Аней, как $S_{Аня}$, Айжан – как $S_{Айжан}$, и двумя другими девочками – как $S_3$ и $S_4$. Согласно условию задачи, $S_{Аня} = 11$ и $S_{Айжан} = 8$.

Составим уравнение, исходя из вышесказанного:
$S_{Аня} + S_{Айжан} + S_3 + S_4 = 3N$
Подставим известные значения:
$11 + 8 + S_3 + S_4 = 3N$
$19 + S_3 + S_4 = 3N$

Из этого уравнения следует, что сумма $19 + S_3 + S_4$ должна быть делима на 3 без остатка.

В условии сказано, что Аня спела больше всех песен (11), а Айжан – меньше всех (8). Это означает, что количество песен, спетых двумя другими девочками ($S_3$ и $S_4$), должно находиться строго в интервале между 8 и 11. Поскольку количество песен является целым числом, то $S_3$ и $S_4$ могут принимать значения только 9 или 10.

Рассмотрим возможные значения суммы $S_3 + S_4$:
– Если обе девочки спели по 9 песен: $S_3 + S_4 = 9 + 9 = 18$.
– Если одна спела 9, а другая 10 песен: $S_3 + S_4 = 9 + 10 = 19$.
– Если обе девочки спели по 10 песен: $S_3 + S_4 = 10 + 10 = 20$.

Теперь проверим, какой из этих вариантов суммы делает выражение $19 + S_3 + S_4$ кратным 3:
– При сумме 18: $19 + 18 = 37$ (не делится на 3).
– При сумме 19: $19 + 19 = 38$ (не делится на 3).
– При сумме 20: $19 + 20 = 39$ (делится на 3).

Единственный подходящий вариант – это когда сумма песен, спетых двумя другими девочками, равна 20. Это возможно только в том случае, если каждая из них спела по 10 песен.

Теперь мы можем найти общее количество песен $N$ из уравнения $3N = 39$:
$N = 39 / 3 = 13$

Для проверки убедимся, что все условия выполняются. Если всего было 13 песен, то количество раз, когда каждая девочка аккомпанировала, равно:
– Аня: $13 - 11 = 2$ раза.
– Айжан: $13 - 8 = 5$ раз.
– Третья девочка: $13 - 10 = 3$ раза.
– Четвертая девочка: $13 - 10 = 3$ раза.
Общее число аккомпанементов: $2 + 5 + 3 + 3 = 13$. Это совпадает с общим количеством песен, что подтверждает правильность расчетов.

Ответ: 13.