Номер 23, страница 97, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

23. (3) Укажите множество значений функции $y=f(x)$:

а) $y=3\cos^2 x - 3\sin^2 x$;

б) $y=(2\cos 3x - 2\sin 3x)^2$;

в) $y=\sin^4 x + \cos^4 x$.

а)

Дана функция $y = 3\cos^2x - 3\sin^2x$.

Для нахождения множества значений, упростим выражение. Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$y = 3(\cos^2x - \sin^2x)$

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Применив эту формулу, получим:

$y = 3\cos(2x)$

Множество значений функции косинус, $E(\cos(2x))$, является отрезок $[-1, 1]$.

Чтобы найти множество значений функции $y = 3\cos(2x)$, нужно умножить границы этого отрезка на 3:

$y_{min} = 3 \cdot (-1) = -3$

$y_{max} = 3 \cdot 1 = 3$

Таким образом, множество значений функции $y$ есть отрезок $[-3, 3]$.

Ответ: $E(y) = [-3, 3]$.

б)

Дана функция $y = (2\cos3x - 2\sin3x)^2$.

Сначала упростим выражение в скобках, вынеся общий множитель 2:

$y = (2(\cos3x - \sin3x))^2 = 4(\cos3x - \sin3x)^2$

Теперь раскроем квадрат разности:

$y = 4(\cos^23x - 2\sin3x\cos3x + \sin^23x)$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$:

$y = 4((\cos^23x + \sin^23x) - 2\sin3x\cos3x) = 4(1 - \sin(2 \cdot 3x)) = 4(1 - \sin(6x))$

Теперь найдем множество значений для функции $y = 4(1 - \sin(6x))$.

Множество значений функции синус, $E(\sin(6x))$, является отрезок $[-1, 1]$.

Найдем границы для выражения $1 - \sin(6x)$:

Минимальное значение: $1 - 1 = 0$ (когда $\sin(6x)=1$)

Максимальное значение: $1 - (-1) = 2$ (когда $\sin(6x)=-1$)

Значит, множество значений для $1 - \sin(6x)$ есть отрезок $[0, 2]$.

Умножим границы этого отрезка на 4, чтобы найти множество значений $y$:

$y_{min} = 4 \cdot 0 = 0$

$y_{max} = 4 \cdot 2 = 8$

Таким образом, множество значений функции $y$ есть отрезок $[0, 8]$.

Ответ: $E(y) = [0, 8]$.

в)

Дана функция $y = \sin^4x + \cos^4x$.

Для упрощения выражения представим его как сумму квадратов и дополним до полного квадрата суммы:

$y = (\sin^2x)^2 + (\cos^2x)^2 = (\sin^2x + \cos^2x)^2 - 2\sin^2x\cos^2x$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$:

$y = 1^2 - 2\sin^2x\cos^2x = 1 - 2(\sin x\cos x)^2$

Теперь применим формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x\cos x$, из которой следует, что $\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

Подставим это в наше выражение:

$y = 1 - 2\left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right)^2 = 1 - 2\left(\frac{1}{4}\sin^2(2x)\right) = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$

Найдем множество значений для полученной функции $y = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$.

Множество значений функции $\sin(2x)$ есть отрезок $[-1, 1]$.

При возведении в квадрат, множество значений для $\sin^2(2x)$ становится отрезком $[0, 1]$.

Найдем границы для выражения $1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$:

Минимальное значение $y$ достигается при максимальном значении $\sin^2(2x)$, то есть при $\sin^2(2x) = 1$:

$y_{min} = 1 - \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Максимальное значение $y$ достигается при минимальном значении $\sin^2(2x)$, то есть при $\sin^2(2x) = 0$:

$y_{max} = 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 = 1$

Таким образом, множество значений функции $y$ есть отрезок $[\frac{1}{2}, 1]$.

Ответ: $E(y) = [\frac{1}{2}, 1]$.