Номер 3, страница 108, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

3. (1) Вычислите:

a) $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3})+\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\arcsin 1-\operatorname{arctg} 0-\arcsin(-1):$

б) $\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})+\operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\arccos\left(-\frac{1}{2}\right).$

а) $arctg(-\sqrt{3})+arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})+arcsin1-arctg0-arcsin(-1)$

Для решения данного выражения вычислим значение каждой обратной тригонометрической функции по отдельности, используя их определения и свойства.

1. $arctg(-\sqrt{3})$. Область значений арктангенса - интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Используем свойство нечетности арктангенса: $arctg(-x) = -arctg(x)$.
$arctg(-\sqrt{3}) = -arctg(\sqrt{3})$. Мы знаем, что $tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$, поэтому $arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, $arctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

2. $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$. Область значений арккосинуса - отрезок $[0; \pi]$. Для отрицательного аргумента используем формулу: $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$.
$arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$. Мы знаем, что $cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому $arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

3. $arcsin(1)$. Область значений арксинуса - отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Мы ищем угол из этого отрезка, синус которого равен 1. Это угол $\frac{\pi}{2}$.
Следовательно, $arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$.

4. $arctg(0)$. Мы ищем угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен 0. Это угол 0.
Следовательно, $arctg(0) = 0$.

5. $arcsin(-1)$. Область значений арксинуса - отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Используем свойство нечетности арксинуса: $arcsin(-x) = -arcsin(x)$.
$arcsin(-1) = -arcsin(1) = -\frac{\pi}{2}$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
$arctg(-\sqrt{3})+arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})+arcsin(1)-arctg(0)-arcsin(-1) = -\frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{2} - 0 - (-\frac{\pi}{2})$
$= -\frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} + \pi$.

Приведем все слагаемые к общему знаменателю 6:
$= -\frac{2\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \frac{6\pi}{6} = \frac{-2\pi + 5\pi + 6\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{2}$.

б) $arcctg(-\sqrt{3})+arctg(-\frac{1}{\sqrt{3}})+arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})+arccos(-\frac{1}{2})$

Вычислим значение каждого слагаемого по отдельности.

1. $arcctg(-\sqrt{3})$. Область значений арккотангенса - интервал $(0; \pi)$. Используем формулу: $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$.
$arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - arcctg(\sqrt{3})$. Мы знаем, что $ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$, поэтому $arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, $arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

2. $arctg(-\frac{1}{\sqrt{3}})$. Область значений арктангенса - интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Используем свойство нечетности: $arctg(-x) = -arctg(x)$.
$arctg(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -arctg(\frac{1}{\sqrt{3}})$. Мы знаем, что $tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, поэтому $arctg(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, $arctg(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$.

3. $arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})$. Область значений арксинуса - отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Используем свойство нечетности: $arcsin(-x) = -arcsin(x)$.
$arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$. Мы знаем, что $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, поэтому $arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.
Следовательно, $arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.

4. $arccos(-\frac{1}{2})$. Область значений арккосинуса - отрезок $[0; \pi]$. Используем формулу: $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$.
$arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - arccos(\frac{1}{2})$. Мы знаем, что $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, поэтому $arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, $arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Теперь сложим все полученные значения:
$arcctg(-\sqrt{3})+arctg(-\frac{1}{\sqrt{3}})+arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})+arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{5\pi}{6} + (-\frac{\pi}{6}) + (-\frac{\pi}{4}) + \frac{2\pi}{3}$
$= \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$= \frac{4\pi \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{\pi \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{16\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = \frac{16\pi - 3\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}$.

Ответ: $\frac{13\pi}{12}$.