Номер 10, страница 95, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

10. (2) Укажите множество значений функции $y = f(x)$:

a) $y = 2\sin(100x)\cos(100x)$;

б) $y = (\sin(2x) + \cos(2x))^2$;

в) $y = \cos^4 \frac{x}{2} - \sin^4 \frac{x}{2}$.

а) Для нахождения множества значений функции $y=2\sin(100x)\cos(100x)$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Положив $\alpha = 100x$, преобразуем функцию к виду $y = \sin(2 \cdot 100x) = \sin(200x)$. Известно, что множество значений функции синус, независимо от ее аргумента, есть отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, искомое множество значений для $y=\sin(200x)$ также является $[-1, 1]$.

Ответ: $E(y) = [-1, 1]$.

б) Рассмотрим функцию $y=(\sin 2x + \cos 2x)^2$. Раскроем скобки по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$: $y = \sin^2(2x) + 2\sin(2x)\cos(2x) + \cos^2(2x)$. Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$. При $\alpha = 2x$ получаем: $y = (\sin^2(2x) + \cos^2(2x)) + 2\sin(2x)\cos(2x) = 1 + \sin(4x)$. Поскольку множество значений функции $\sin(4x)$ есть отрезок $[-1, 1]$, то минимальное значение $y$ будет $1+(-1)=0$, а максимальное $1+1=2$. Таким образом, множество значений функции есть отрезок $[0, 2]$.

Ответ: $E(y) = [0, 2]$.

в) Рассмотрим функцию $y = \cos^4\frac{x}{2} - \sin^4\frac{x}{2}$. Выражение в правой части можно разложить как разность квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, где $a = \cos^2\frac{x}{2}$ и $b = \sin^2\frac{x}{2}$: $y = (\cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2})(\cos^2\frac{x}{2} + \sin^2\frac{x}{2})$. Применим два тригонометрических тождества. Первое, основное тригонометрическое тождество: $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$, где $\alpha = \frac{x}{2}$, так что вторая скобка равна 1. Второе, формула косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, где $\alpha = \frac{x}{2}$, так что первая скобка равна $\cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = \cos(x)$. В результате функция упрощается до $y = \cos(x) \cdot 1 = \cos(x)$. Множество значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$.

Ответ: $E(y) = [-1, 1]$.