Номер 11, страница 59, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

11. Найдите функцию, обратную данной. Укажите область определения и область значений обратной функции. Постройте графики данной функции и обратной в одной системе координат:

а) (2) $y=(x+3)^2$, $x \le -3$;

б) (2) $y=(x-4)^2$, $x \ge 4$;

в) (3) $y=x^2+8x-4$, $x \ge -4$;

г) $y=x^2-2x+5$, $x \le 1$;

д) (2) $y=\sqrt{x-2}$;

е) (2) $y=\sqrt{3-x}$;

ж) (3) $y=4-\sqrt{x-1}$;

з) (3) $y=5+\sqrt{4-x}$.

а) (2) y=(x+8)², x≤-8

1. Анализ исходной функции $f(x) = (x+8)^2$ при $x \le -8$.
Область определения $D(f)$ задана условием $x \le -8$, то есть $D(f) = (-\infty, -8]$.
График функции — это левая ветвь параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(-8, 0)$. На заданном промежутке функция является монотонно убывающей.
Область значений $E(f)$ определяется значениями, которые принимает $y$. Поскольку $(x+8)^2 \ge 0$, минимальное значение $y=0$ достигается при $x=-8$. Таким образом, $E(f) = [0, +\infty)$.

2. Нахождение обратной функции.
Для нахождения обратной функции $y = f^{-1}(x)$ выразим $x$ через $y$ из исходного уравнения $y = (x+8)^2$, а затем поменяем переменные местами. $y = (x+8)^2 \implies \sqrt{y} = |x+8|$.
Так как по условию $x \le -8$, то $x+8 \le 0$, и $|x+8| = -(x+8)$.
$\sqrt{y} = -(x+8) \implies x+8 = -\sqrt{y} \implies x = -8 - \sqrt{y}$.
Теперь меняем $x$ и $y$ местами: $y = -8 - \sqrt{x}$.

3. Область определения и область значений обратной функции.
Область определения обратной функции $D(f^{-1})$ совпадает с областью значений исходной функции: $D(f^{-1}) = E(f) = [0, +\infty)$.
Область значений обратной функции $E(f^{-1})$ совпадает с областью определения исходной функции: $E(f^{-1}) = D(f) = (-\infty, -8]$.

4. Построение графиков.
График исходной функции $y=(x+8)^2, x \le -8$ — левая ветвь параболы с вершиной в $(-8, 0)$.
График обратной функции $y = -8 - \sqrt{x}, x \ge 0$ — кривая, начинающаяся в точке $(0, -8)$ и уходящая вправо и вниз.
Графики этих двух функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = -8 - \sqrt{x}$, ее область определения $D(f^{-1})=[0, +\infty)$, область значений $E(f^{-1})=(-\infty, -8]$.

б) (2) y=(x-4)², x≥4

1. Анализ исходной функции $f(x) = (x-4)^2$ при $x \ge 4$.
Область определения $D(f) = [4, +\infty)$.
График функции — это правая ветвь параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(4, 0)$. На этом промежутке функция монотонно возрастает.
Область значений $E(f) = [0, +\infty)$.

2. Нахождение обратной функции.
Из $y = (x-4)^2$ выражаем $x$: $\sqrt{y} = |x-4|$.
Так как $x \ge 4$, то $x-4 \ge 0$, и $|x-4| = x-4$.
$\sqrt{y} = x-4 \implies x = 4 + \sqrt{y}$.
Меняем $x$ и $y$ местами: $y = 4 + \sqrt{x}$.

3. Область определения и область значений обратной функции.
$D(f^{-1}) = E(f) = [0, +\infty)$.
$E(f^{-1}) = D(f) = [4, +\infty)$.

4. Построение графиков.
График исходной функции $y=(x-4)^2, x \ge 4$ — правая ветвь параболы с вершиной в $(4, 0)$.
График обратной функции $y = 4 + \sqrt{x}, x \ge 0$ — кривая, начинающаяся в точке $(0, 4)$ и уходящая вправо и вверх.
Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = 4 + \sqrt{x}$, ее область определения $D(f^{-1})=[0, +\infty)$, область значений $E(f^{-1})=[4, +\infty)$.

в) (3) y=x²+8x-4, x≥-4

1. Анализ исходной функции.
Выделим полный квадрат: $y = (x^2 + 8x + 16) - 16 - 4 = (x+4)^2 - 20$.
Область определения $D(f) = [-4, +\infty)$.
График — правая ветвь параболы с вершиной в $(-4, -20)$. Функция монотонно возрастает.
Область значений $E(f) = [-20, +\infty)$.

2. Нахождение обратной функции.
Из $y = (x+4)^2 - 20$ выражаем $x$: $y+20 = (x+4)^2 \implies \sqrt{y+20} = |x+4|$.
Так как $x \ge -4$, то $x+4 \ge 0$, и $|x+4| = x+4$.
$\sqrt{y+20} = x+4 \implies x = \sqrt{y+20} - 4$.
Меняем $x$ и $y$: $y = \sqrt{x+20} - 4$.

3. Область определения и область значений обратной функции.
$D(f^{-1}) = E(f) = [-20, +\infty)$.
$E(f^{-1}) = D(f) = [-4, +\infty)$.

4. Построение графиков.
График $y=(x+4)^2-20, x \ge -4$ — правая ветвь параболы с вершиной в $(-4, -20)$.
График $y = \sqrt{x+20} - 4, x \ge -20$ — кривая, начинающаяся в точке $(-20, -4)$ и идущая вправо и вверх.
Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = \sqrt{x+20} - 4$, ее область определения $D(f^{-1})=[-20, +\infty)$, область значений $E(f^{-1})=[-4, +\infty)$.

г) y=x²-2x+5, x≤1

1. Анализ исходной функции.
Выделим полный квадрат: $y = (x^2 - 2x + 1) - 1 + 5 = (x-1)^2 + 4$.
Область определения $D(f) = (-\infty, 1]$.
График — левая ветвь параболы с вершиной в $(1, 4)$. Функция монотонно убывает.
Область значений $E(f) = [4, +\infty)$.

2. Нахождение обратной функции.
Из $y = (x-1)^2 + 4$ выражаем $x$: $y-4 = (x-1)^2 \implies \sqrt{y-4} = |x-1|$.
Так как $x \le 1$, то $x-1 \le 0$, и $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.
$\sqrt{y-4} = 1-x \implies x = 1 - \sqrt{y-4}$.
Меняем $x$ и $y$: $y = 1 - \sqrt{x-4}$.

3. Область определения и область значений обратной функции.
$D(f^{-1}) = E(f) = [4, +\infty)$.
$E(f^{-1}) = D(f) = (-\infty, 1]$.

4. Построение графиков.
График $y=(x-1)^2+4, x \le 1$ — левая ветвь параболы с вершиной в $(1, 4)$.
График $y = 1 - \sqrt{x-4}, x \ge 4$ — кривая, начинающаяся в точке $(4, 1)$ и идущая вправо и вниз.
Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = 1 - \sqrt{x-4}$, ее область определения $D(f^{-1})=[4, +\infty)$, область значений $E(f^{-1})=(-\infty, 1]$.

д) (2) y=√x-2

1. Анализ исходной функции $f(x) = \sqrt{x-2}$.
Область определения $D(f)$ находится из условия $x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$. $D(f) = [2, +\infty)$.
Функция монотонно возрастает.
Область значений $E(f)$, поскольку корень арифметический, $y \ge 0$. $E(f) = [0, +\infty)$.

2. Нахождение обратной функции.
Из $y = \sqrt{x-2}$ выражаем $x$: $y^2 = x-2 \implies x = y^2 + 2$.
Меняем $x$ и $y$: $y = x^2 + 2$.

3. Область определения и область значений обратной функции.
$D(f^{-1}) = E(f) = [0, +\infty)$.
$E(f^{-1}) = D(f) = [2, +\infty)$.
Таким образом, обратная функция $y = x^2+2$ рассматривается при $x \ge 0$.

4. Построение графиков.
График $y=\sqrt{x-2}$ — верхняя ветвь параболы, симметричной оси OX, с вершиной в $(2, 0)$.
График $y=x^2+2, x \ge 0$ — правая ветвь параболы с вершиной в $(0, 2)$.
Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = x^2 + 2$, ее область определения $D(f^{-1})=[0, +\infty)$, область значений $E(f^{-1})=[2, +\infty)$.

е) (2) y=√3-x

1. Анализ исходной функции $f(x) = \sqrt{3-x}$.
Область определения $D(f)$ находится из условия $3-x \ge 0 \implies x \le 3$. $D(f) = (-\infty, 3]$.
Функция монотонно убывает.
Область значений $E(f) = [0, +\infty)$.

2. Нахождение обратной функции.
Из $y = \sqrt{3-x}$ выражаем $x$: $y^2 = 3-x \implies x = 3 - y^2$.
Меняем $x$ и $y$: $y = 3 - x^2$.

3. Область определения и область значений обратной функции.
$D(f^{-1}) = E(f) = [0, +\infty)$.
$E(f^{-1}) = D(f) = (-\infty, 3]$.
Обратная функция $y = 3-x^2$ рассматривается при $x \ge 0$.

4. Построение графиков.
График $y=\sqrt{3-x}$ — верхняя ветвь параболы, симметричной оси OX, с вершиной в $(3, 0)$.
График $y=3-x^2, x \ge 0$ — правая ветвь параболы, ветви которой направлены вниз, с вершиной в $(0, 3)$.
Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = 3 - x^2$, ее область определения $D(f^{-1})=[0, +\infty)$, область значений $E(f^{-1})=(-\infty, 3]$.

ж) (3) y=4-√x-1

1. Анализ исходной функции $f(x) = 4 - \sqrt{x-1}$.
Область определения $D(f)$ из условия $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$. $D(f) = [1, +\infty)$.
Функция монотонно убывает.
Область значений $E(f)$: так как $\sqrt{x-1} \ge 0$, то $-\sqrt{x-1} \le 0$, и $y = 4 - \sqrt{x-1} \le 4$. $E(f) = (-\infty, 4]$.

2. Нахождение обратной функции.
Из $y = 4 - \sqrt{x-1}$ выражаем $x$: $\sqrt{x-1} = 4 - y$.
Возводим в квадрат: $x-1 = (4-y)^2 \implies x = (4-y)^2 + 1$.
Меняем $x$ и $y$: $y = (4-x)^2 + 1$.

3. Область определения и область значений обратной функции.
$D(f^{-1}) = E(f) = (-\infty, 4]$.
$E(f^{-1}) = D(f) = [1, +\infty)$.
Обратная функция $y=(4-x)^2+1$ (или $y=(x-4)^2+1$) рассматривается при $x \le 4$.

4. Построение графиков.
График $y=4-\sqrt{x-1}$ начинается в точке $(1, 4)$ и идет вправо и вниз.
График $y=(x-4)^2+1, x \le 4$ — левая ветвь параболы с вершиной в $(4, 1)$.
Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = (x-4)^2 + 1$, ее область определения $D(f^{-1})=(-\infty, 4]$, область значений $E(f^{-1})=[1, +\infty)$.

з) (3) y=5+√4-x

1. Анализ исходной функции $f(x) = 5 + \sqrt{4-x}$.
Область определения $D(f)$ из условия $4-x \ge 0 \implies x \le 4$. $D(f) = (-\infty, 4]$.
Функция монотонно убывает.
Область значений $E(f)$: так как $\sqrt{4-x} \ge 0$, то $y = 5 + \sqrt{4-x} \ge 5$. $E(f) = [5, +\infty)$.

2. Нахождение обратной функции.
Из $y = 5 + \sqrt{4-x}$ выражаем $x$: $y-5 = \sqrt{4-x}$.
Возводим в квадрат: $(y-5)^2 = 4-x \implies x = 4 - (y-5)^2$.
Меняем $x$ и $y$: $y = 4 - (x-5)^2$.

3. Область определения и область значений обратной функции.
$D(f^{-1}) = E(f) = [5, +\infty)$.
$E(f^{-1}) = D(f) = (-\infty, 4]$.
Обратная функция $y=4-(x-5)^2$ рассматривается при $x \ge 5$.

4. Построение графиков.
График $y=5+\sqrt{4-x}$ начинается в точке $(4, 5)$ и идет влево и вверх.
График $y=4-(x-5)^2, x \ge 5$ — правая ветвь параболы, ветви которой направлены вниз, с вершиной в $(5, 4)$.
Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = 4 - (x-5)^2$, ее область определения $D(f^{-1})=[5, +\infty)$, область значений $E(f^{-1})=(-\infty, 4]$.